Calcule a inversa das matrizes a seguir, quando existir.
(18) \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz (quando existir). A matriz fornecida é
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{array}\right].
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Queremos A^{-1}, isto é, uma matriz B tal que A B = I, onde I é a matriz identidade 3\times3.
  • Se a matriz não for invertível (determinante zero) não existe inversa; precisamos checar isso ou mostrar um procedimento que falhe por causa disso.]

Passo 2

Como vamos proceder (escolha do método): não foi imposto um método no enunciado, então escolho o método básico e direto que costuma cair em prova: eliminar por linhas (algoritmo de Gauss) aplicando operações elementares à matriz aumentada [A\mid I]. Isso transforma A na identidade e simultaneamente transforma I em A^{-1}. Antes de começar, é bom verificar rapidamente que A é invertível calculando o determinante — se \det(A)\neq0 a inversa existe.
Cálculo rápido do determinante de A:
\det(A)= \left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{array}\right| =2\cdot\left|\begin{array}{cc}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{array}\right| -1\cdot\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]0 & 2\end{array}\right| +0\cdot(\cdots).
Calculando os menores:
\left|\begin{array}{cc}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{array}\right|=2\cdot2-1\cdot1=4-1=3, \qquad \left|\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]0 & 2\end{array}\right|=1\cdot2-1\cdot0=2.
Logo
\det(A)=2\cdot3-1\cdot2=6-2=4\neq0.
Como o determinante é diferente de zero, A é invertível e a inversa existe. Vamos agora calcular A^{-1} pelo método de eliminação.]

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Explicação curta: cada operação elementar que aplicarmos nas linhas à esquerda deve ser aplicada também nas colunas da direita (na parte que era I), para que no final a parte direita vire A^{-1}.]

Passo 4

Queremos um 1 pivô na primeira linha, posição (1,1). Divido a primeira linha por 2:
R_{1}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{1}
resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Zerar a coluna 1 abaixo do pivô: R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora queremos pivô 1 na segunda linha, coluna 2. Dividimos a segunda linha por \tfrac{3}{2} (ou multiplicar por \tfrac{2}{3}):
R_{2}\leftarrow \tfrac{2}{3}R_{2}
resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Zeramos a coluna 2 nas outras linhas.
Primeiro R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac{1}{2}R_{2}. Calculando \tfrac{1}{2}R_{2}=\bigl[0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\mid -\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3},0\bigr]. Assim
R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac{1}{2}R_{2}
gera
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Agora R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}. Subtraindo a linha 2 de R_3
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Tornar o terceiro pivô igual a 1: dividir a terceira linha por \tfrac{4}{3} (ou multiplicar por \tfrac{3}{4}):
R_{3}\leftarrow \tfrac{3}{4}R_{3}
resulta em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{4} \end{array}\right].]

Passo 9

Agora zeramos a coluna 3 nas linhas 1 e 2.
Para a linha 1: R_{1}\leftarrow R_{1}+\tfrac{1}{3}R_{3}. Observe \tfrac{1}{3}R_{3}=\bigl[0,0,\tfrac{1}{3}\mid \tfrac{1}{12},-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{4}\bigr]. Então
R_{1}\leftarrow R_{1}+\tfrac{1}{3}R_{3}
R_{1}=\bigl[1,0,0\mid \tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\bigr].
Para a linha 2: R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{2}{3}R_{3}. Observe \tfrac{2}{3}R_{3}=\bigl[0,0,\tfrac{2}{3}\mid \tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\bigr]. Então
R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{2}{3}R_{3}
R_{2}=\bigl[0,1,0\mid -\tfrac{1}{2},1,-\tfrac{1}{2}\bigr].
Agora a parte esquerda ficou exatamente a identidade e a parte direita é a inversa.

Passo 10

Lemos a parte direita da matriz aumentada como A^{-1}. Assim obtivemos
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{4} \end{array}\right].
Dica de verificação rápida: multiplicar A por A^{-1} deve retornar a identidade; os cálculos anteriores garantem isso (e também confirmamos \det(A)=4\neq0, portanto a inversa existe).]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{4} \end{array}\right]]

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