Queremos A^{-1}, isto é, uma matriz B tal que A B = I, onde I é a matriz identidade 3\times3.
Se a matriz não for invertível (determinante zero) não existe inversa; precisamos checar isso ou mostrar um procedimento que falhe por causa disso.]
Passo 2
Como vamos proceder (escolha do método): não foi imposto um método no enunciado, então escolho o método básico e direto que costuma cair em prova: eliminar por linhas (algoritmo de Gauss) aplicando operações elementares à matriz aumentada [A\mid I]. Isso transforma A na identidade e simultaneamente transforma I em A^{-1}. Antes de começar, é bom verificar rapidamente que A é invertível calculando o determinante — se \det(A)\neq0 a inversa existe.
Explicação curta: cada operação elementar que aplicarmos nas linhas à esquerda deve ser aplicada também nas colunas da direita (na parte que era I), para que no final a parte direita vire A^{-1}.]
Passo 4
Queremos um 1 pivô na primeira linha, posição (1,1). Divido a primeira linha por 2:
Primeiro R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac{1}{2}R_{2}. Calculando \tfrac{1}{2}R_{2}=\bigl[0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\mid -\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3},0\bigr]. Assim
Para a linha 1: R_{1}\leftarrow R_{1}+\tfrac{1}{3}R_{3}. Observe \tfrac{1}{3}R_{3}=\bigl[0,0,\tfrac{1}{3}\mid \tfrac{1}{12},-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{4}\bigr]. Então
Para a linha 2: R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{2}{3}R_{3}. Observe \tfrac{2}{3}R_{3}=\bigl[0,0,\tfrac{2}{3}\mid \tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\bigr]. Então
Dica de verificação rápida: multiplicar A por A^{-1} deve retornar a identidade; os cálculos anteriores garantem isso (e também confirmamos \det(A)=4\neq0, portanto a inversa existe).]