Calcule a inversa das matrizes a seguir, quando existir.
(20) \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 3 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz (peguei todos os elementos do enunciado) e pede para calcular a inversa quando ela existir:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
Pergunta clara: existe A^{-1}? Se sim, qual é? Se não, justificar por que não existe.]

Passo 2

Ideia rápida e ferramenta que uso aqui (explicando como funciona, para você usar na prova):
  • Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, ela for não-singular, isto é, se o determinante \det(A) for diferente de zero.
  • Para uma matriz 3\times3 podemos calcular \det(A) usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vou usar uma expansão pela primeira linha porque é direta e fácil de acompanhar.
Lembrete da fórmula por expansão na primeira linha: se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
então
\det(A)=a_{11}\det\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\[4pt]a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} - a_{12}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\[4pt]a_{31}&a_{33}\end{pmatrix} + a_{13}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\[4pt]a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}.
Aqui cada determinante 2\times2 é \det\begin{pmatrix}p&q\\\ r&s\end{pmatrix}=ps-qr.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso concreto: os elementos da primeira linha são a_{11}=1, a_{12}=2, a_{13}=-1. Então
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]3&0\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]3&0\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]3&3\end{pmatrix}.
Calculo cada 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]3&0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot3=-3,
\det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]3&0\end{pmatrix}=2\cdot0-1\cdot3=-3,
\det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]3&3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot3=6-3=3.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-3)-2\cdot(-3)+(-1)\cdot3 = -3 +6 -3 = 0.]

Passo 4

Interpretação didática (o que isso significa para a prova): como \det(A)=0, a matriz A é singular — isto é, não tem inversa. Você pode parar aqui na prova com segurança: determinante zero implica que A^{-1} NÃO existe.
Vou também mostrar, passo a passo, o procedimento de eliminação (Gauss–Jordan) que se tenta quando se quer encontrar A^{-1}. Isso é útil para ver concretamente por que falha quando \det(A)=0.

Passo 5

Montamos a matriz aumentada [A\mid I] e aplicamos operações elementares para tentar chegar em [I\mid A^{-1}]. Aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Usamos a primeira linha como pivô e eliminamos abaixo.
R2 \leftarrow R2 - 2·R1:
\text{R2}:\; (2-2\cdot1,\;1-2\cdot2,\;1-2\cdot(-1)\;|\;0-2\cdot1,\;1-2\cdot0,\;0-2\cdot0) =(0,-3,3\;|\;-2,1,0).
R3 \leftarrow R3 - 3·R1:
\text{R3}:\; (3-3\cdot1,\;3-3\cdot2,\;0-3\cdot(-1)\;|\;0-3\cdot1,\;0-3\cdot0,\;1-3\cdot0) =(0,-3,3\;|\;-3,0,1).
Agora a aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 3 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 3 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Comparando R2 e R3, vemos que as entradas da parte esquerda são idênticas, então fazemos R3 \leftarrow R3 - R2 para tentar prosseguir:
\text{R3}=\; (0, -3, 3 \;|\; -3,0,1) - (0,-3,3 \;|\; -2,1,0) = (0,0,0 \;|\; -1,-1,1).
Aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 3 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

O que essa última linha significa: do lado esquerdo temos a linha nula (0,0,0) e do lado direito temos (-1,-1,1). Se estivesse resolvendo A X = I coluna a coluna (o que a eliminação faz tacitamente), essa linha diz 0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3 = -1 para a primeira coluna da identidade — uma contradição (uma equação impossível). Ou, visto de outro jeito, não é possível transformar a parte esquerda em I porque já apareceu uma linha nula que corresponderia a uma linha de zeros na identidade, mas a parte direita não é zero nessa linha; consequência: o processo de Gauss–Jordan falha em produzir uma inversa. Isso confirma o teste do determinante.

Passo 8

Conclusão final didática: tanto pelo cálculo do determinante ( \det(A)=0) quanto pela tentativa de eliminação (aparecimento de uma linha nula contraditória na aumentada), a matriz A é singular e não possui inversa. Na prova, o atalho eficiente é calcular o determinante primeiro; se for zero, já dá para afirmar que não existe A^{-1}.

Resposta

A matriz não é inversível; não existe A^{-1} porque \det(A)=0.

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