Pergunta clara: existe A^{-1}? Se sim, qual é? Se não, justificar por que não existe.]
Passo 2
Ideia rápida e ferramenta que uso aqui (explicando como funciona, para você usar na prova):
Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, ela for não-singular, isto é, se o determinante \det(A) for diferente de zero.
Para uma matriz 3\times3 podemos calcular \det(A) usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vou usar uma expansão pela primeira linha porque é direta e fácil de acompanhar.
Lembrete da fórmula por expansão na primeira linha: se
Interpretação didática (o que isso significa para a prova): como \det(A)=0, a matriz A é singular — isto é, não tem inversa. Você pode parar aqui na prova com segurança: determinante zero implica que A^{-1} NÃO existe.
Vou também mostrar, passo a passo, o procedimento de eliminação (Gauss–Jordan) que se tenta quando se quer encontrar A^{-1}. Isso é útil para ver concretamente por que falha quando \det(A)=0.
Passo 5
Montamos a matriz aumentada [A\mid I] e aplicamos operações elementares para tentar chegar em [I\mid A^{-1}]. Aumentada inicial:
O que essa última linha significa: do lado esquerdo temos a linha nula (0,0,0) e do lado direito temos (-1,-1,1). Se estivesse resolvendo A X = I coluna a coluna (o que a eliminação faz tacitamente), essa linha diz 0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3 = -1 para a primeira coluna da identidade — uma contradição (uma equação impossível). Ou, visto de outro jeito, não é possível transformar a parte esquerda em I porque já apareceu uma linha nula que corresponderia a uma linha de zeros na identidade, mas a parte direita não é zero nessa linha; consequência: o processo de Gauss–Jordan falha em produzir uma inversa. Isso confirma o teste do determinante.
Passo 8
Conclusão final didática: tanto pelo cálculo do determinante (\det(A)=0) quanto pela tentativa de eliminação (aparecimento de uma linha nula contraditória na aumentada), a matriz A é singular e não possui inversa. Na prova, o atalho eficiente é calcular o determinante primeiro; se for zero, já dá para afirmar que não existe A^{-1}.
Resposta
A matriz não é inversível; não existe A^{-1} porque \det(A)=0.