Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
(7) \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 1 \\\\ 3 & 3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado): a matriz 3\times3
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 3 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
O pedido é: calcular o determinante de A, ou seja, encontrar \det(A).]

Passo 2

Qual método usar e por quê. Para uma matriz 3\times3 há vários jeitos: regra de Sarrus (rápida e direta), expansão por cofatores (Laplace) ou operações elementares sobre linhas. Vou usar a regra de Sarrus porque é a forma mais direta para 3\times3 e permite fazer as contas passo a passo sem complicação de operações adicionais. Depois explico como a regra funciona.

Passo 3

A regra de Sarrus para uma matriz
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
diz que o determinante é
\det = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Aqui a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j. A primeira soma reúne os produtos das três diagonais que vão para a direita (descendo), e a subtração reúne os produtos das três diagonais que vão para a esquerda (descendo).]

Passo 4

Identificar os a_{ij} da matriz dada:
a_{11}=1,\quad a_{12}=2,\quad a_{13}=3,
a_{21}=3,\quad a_{22}=1,\quad a_{23}=1,
a_{31}=3,\quad a_{32}=3,\quad a_{33}=2.

Passo 5

Calcular o primeiro termo positivo a_{11}a_{22}a_{33}:
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot 1\cdot 2=2.

Passo 6

Calcular o segundo termo positivo a_{12}a_{23}a_{31}:
a_{12}a_{23}a_{31}=2\cdot 1\cdot 3=6.

Passo 7

Calcular o terceiro termo positivo a_{13}a_{21}a_{32}:
a_{13}a_{21}a_{32}=3\cdot 3\cdot 3=27.

Passo 8

Somar os termos positivos:
\text{soma positiva}=2+6+27=35.

Passo 9

Agora os três termos negativos. Primeiro a_{13}a_{22}a_{31}:
a_{13}a_{22}a_{31}=3\cdot 1\cdot 3=9.

Passo 10

Segundo termo negativo a_{11}a_{23}a_{32}:
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot 1\cdot 3=3.

Passo 11

Terceiro termo negativo a_{12}a_{21}a_{33}:
a_{12}a_{21}a_{33}=2\cdot 3\cdot 2=12.

Passo 12

Somar os termos negativos:
\text{soma negativa}=9+3+12=24.

Passo 13

Subtrair soma negativa da soma positiva para obter o determinante:
\det(A)=35-24=11.

Resposta

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