Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a Expansão de Laplace:
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 5 & 6 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}
usando a Expansão de Laplace. Vamos aplicar a definição de determinante por expansão ao longo de uma linha, escolhendo aqui a segunda linha para simplificar, pois tem um elemento zero.

Passo 2

Para usar a Expansão de Laplace ao longo da segunda linha, escrevemos
\det(A) \;=\;\sum_{j=1}^{3}(-1)^{2+j}\,a_{2j}\,\det(M_{2j}),
sendo M_{2j} o menor obtido eliminando a segunda linha e a coluna j. Assim,
\det(A) = (-1)^{2+1}\cdot 0\cdot \det(M_{21}) + (-1)^{2+2}\cdot 1\cdot \det(M_{22}) + (-1)^{2+3}\cdot 4\cdot \det(M_{23}).
Como (-1)^{3}=-1 e (-1)^{4}=+1 e o primeiro termo anula, fica
\det(A) = 1\cdot \det(M_{22}) \;-\; 4\cdot \det(M_{23}).

Passo 3

Os menores são
M_{22} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 5 & 0\end{pmatrix}, \quad M_{23} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 5 & 6\end{pmatrix}.
Calculando os determinantes de cada 2\times 2:
\det(M_{22}) = 1\cdot 0 \;-\; 3\cdot 5 = -15, \quad \det(M_{23}) = 1\cdot 6 \;-\; 2\cdot 5 = -4.

Passo 4

Substituindo em \det(A) = \det(M_{22}) - 4\,\det(M_{23}) obtemos
\det(A) = (-15) \;-\; 4\cdot(-4) = -15 + 16 = 1.

Resposta

1

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