Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=4 \\\ x-y+3 z=7 \\\\ 3 x+2 y+z=10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x + y - z = 4,\\\ x - y + 3z = 7,\\\\ 3x + 2y + z = 10. \end{cases}
Vamos usar a Regra de Cramer: primeiro calculamos o determinante D da matriz de coeficientes e depois os determinantes D_x, D_y e D_z substituindo cada coluna pelos termos independentes.

Passo 2

O determinante D da matriz dos coeficientes é
D = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\\\ 1 & -1 & 3 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
Aplicando a regra de Sarrus ou expansão de Laplace, obtemos
D = -11.

Passo 3

Substituímos a primeira coluna pelos termos independentes para calcular D_x:
D_x = \det \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\\\ 7 & -1 & 3 \\\\ 10 & 2 & 1 \end{pmatrix}
Usando a regra de Sarrus, chegamos a
D_x = -29.

Passo 4

Para D_y, substituímos a segunda coluna pelos termos independentes:
D_y = \det \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\\\ 1 & 7 & 3 \\\\ 3 & 10 & 1 \end{pmatrix}
Calculando, obtemos
D_y = -3.

Passo 5

Para D_z, substituímos a terceira coluna pelos termos independentes:
D_z = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\\\ 1 & -1 & 7 \\\\ 3 & 2 & 10 \end{pmatrix}
Fazendo o cálculo, temos
D_z = -17.

Passo 6

Pela Regra de Cramer, cada variável é dada por
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D}.
Substituindo os valores, resulta em
x = \frac{-29}{-11} = \frac{29}{11},\quad y = \frac{-3}{-11} = \frac{3}{11},\quad z = \frac{-17}{-11} = \frac{17}{11}.

Resposta

x = \frac{29}{11}, y = \frac{3}{11}, z = \frac{17}{11}

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