Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6 \\\\ 2 x+3 y+z=10 \\\ x-y+2 z=5\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 6,\\\\ 2x + 3y + z = 10,\\\ x - y + 2z = 5 \end{cases}
e vamos usar a Regra de Cramer. Isso implica montar a matriz de coeficientes A, calcular \det(A) e depois os determinantes \Delta_x, \Delta_y e \Delta_z, substituindo a coluna correspondente pelos termos independentes. Por fim, cada variável é dada por \frac{\Delta_i}{\det(A)}, desde que \det(A)\neq0.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Vamos expandir pelo método de cofactores na primeira linha para achar \det(A):
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Calculemos cada menor
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =3\cdot2 - 1\cdot(-1)=6+1=7,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2 - 1\cdot1=4-1=3,
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\\ 1 & -1\end{pmatrix} =2\cdot(-1) - 3\cdot1=-2-3=-5.
Logo
\det(A)=1\cdot7 - 1\cdot3 + 1\cdot(-5)=7-3-5=-1.

Passo 3

Agora montamos e calculamos os determinantes \Delta_x, \Delta_y e \Delta_z. \Delta_x substitui a primeira coluna de A pelos termos independentes (6,10,5):
A_x = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 1\\\\ 10 & 3 & 1\\\\ 5 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha,
\Delta_x =6\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}10 & 1\\\\ 5 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}10 & 3\\\\ 5 & -1\end{pmatrix} =6\cdot7 -1\cdot(10\cdot2-1\cdot5) +1\cdot(10\cdot(-1)-3\cdot5) =42 - (20-5) +(-10-15) =42-15-25=2. \Delta_y substitui a segunda coluna:
A_y = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 1\\\\ 2 & 10 & 1\\\\ 1 & 5 & 2 \end{pmatrix},
\Delta_y =1\cdot\det\begin{pmatrix}10 & 1\\\\ 5 & 2\end{pmatrix} -6\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 10\\\\ 1 & 5\end{pmatrix} =1\cdot(20-5) -6\cdot(4-1) +1\cdot(2\cdot5-10\cdot1) =15 -6\cdot3 +0 =15-18=-3. \Delta_z substitui a terceira coluna:
A_z = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6\\\\ 2 & 3 & 10\\\\ 1 & -1 & 5 \end{pmatrix},
\Delta_z =1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 10\\\\ -1 & 5\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 10\\\\ 1 & 5\end{pmatrix} +6\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\\ 1 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(3\cdot5-10\cdot(-1)) -1\cdot(2\cdot5-10\cdot1) +6\cdot(-5) = (15+10) - (10-10) -30 =25-0-30=-5.

Passo 4

Aplicando a Regra de Cramer:
x = \frac{\Delta_x}{\det(A)} = \frac{2}{-1} = -2,\quad y = \frac{\Delta_y}{\det(A)} = \frac{-3}{-1} = 3,\quad z = \frac{\Delta_z}{\det(A)} = \frac{-5}{-1} = 5.

Resposta

x = -2,\; y = 3,\; z = 5.

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