Calcule os determinantes seguintes, aplicando a regra de Laplace:
|cccc0 & 2 & 0 & 4 2 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & -3 & 1 1 & 1 & 0 & 1|;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = 0 & 2 & 0 & 4 2 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & -3 & 1 1 & 1 & 0 & 1
usando a regra de Laplace. Vamos explorar uma linha ou coluna com muitos zeros para simplificar o cálculo.

Passo 2

Observe que a terceira linha de A é l(0,,0,,-3,,1r), contendo dois zeros. Então convém expandir o determinante ao longo dessa linha.

Passo 3

Pela expansão de Laplace ao longo da linha 3 temos
det A = a33,C33 + a34,C34 = (-3),(+1),det M33 ;+; (1),(-1),det M34,
onde Cij=(-1)^i+jdet Mij.

Passo 4

O menor M33 é a submatriz obtida eliminando linha 3 e coluna 3:
M33 = 0 & 2 & 4 2 & 1 & 2 1 & 1 & 1
Calculamos
det M33 = 0cdot1&21&1 -2cdot2&21&1 +4cdot2&11&1 = 0 - 2(2-2) + 4(2-1) = 4

Passo 5

O menor M34 é a submatriz eliminando linha 3 e coluna 4:
M34 = 0 & 2 & 0 2 & 1 & 0 1 & 1 & 0
Como sua terceira coluna é toda zero, segue que
det M34 = 0

Passo 6

Substituindo em det A:
det A = (-3)cdot 4 ;+; 1cdot(-1)cdot 0 = -12

Resposta

-12

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