Calcule os determinantes seguintes, aplicando a regra de Laplace:
|cccc0 & x & 0 & -1 -1 & 2 & x & 0 0 & 1 & 2 & x 0 & 0 & -3 & 0|.

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = 0 & x & 0 & -1 -1 & 2 & x & 0 0 & 1 & 2 & x 0 & 0 & -3 & 0
usando a regra de Laplace (expansão por cofatores). Como há muitos zeros na primeira coluna, é bem prático expandir ao longo dessa coluna.

Passo 2

Ao expandir det(A) pela primeira coluna, só o elemento da segunda linha é não nulo. Temos
det(A) = (-1)^2+1,(a2,1),det(M2,1)
onde a2,1=-1 e M2,1 é a matriz obtida de A retirando a linha 2 e a coluna 1.

Passo 3

Calculemos o sinal e o coeficiente:
(-1)^2+1=,-1, a2,1=-1 ;Longrightarrow; (-1)^2+1,a2,1=(-1)cdot(-1)=1
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det(A)=det(M2,1)

Passo 4

A matriz M2,1 é
M2,1= x & 0 & -1 1 & 2 & x 0 & -3 & 0
Vamos calcular det(M2,1) expandindo pela primeira linha:
det(M2,1) = xcdotdet!2 & x-3 & 0 -0cdot(cdots) +(-1),underbracedet!1 & 20 & -3menor do e<=mento -1,
note que o sinal do terceiro termo é (-1)^1+3=+1.

Passo 5

Calculemos cada menor:
det2 & x-3 & 0 =2cdot0 - xcdot(-3)=3x,
det1 & 20 & -3 =1cdot(-3) - 2cdot0 = -3
Substituindo em det(M2,1):
det(M2,1) = xcdot(3x) + (-1)cdot(-3) =3x^2 + 3 =3,(x^2+1)

Resposta

det(A)=3,(x^2+1)

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