Determine o valor de k para que o sistema ll3 z-4 y & =1 4 x-2 z & =2 2 y-3 x & =3-k, seja compatível indeterminado.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
que em forma matricial é com
Para que o sistema seja compatível indeterminado (infinitas soluções) precisamos de
. (matriz singular),
. .

Passo 2

Calculando o determinante de A:
det(A) = 0 & -4 & 3 4 & 0 & -2 -3& 2 & 0 =0(já que cada expansão retorna zero) áã
Logo A é singular e det(A)=0.

Passo 3

Para saber o posto de A, basta encontrar um menor de ordem 2 não nulo. Por exemplo, o subdeterminante formado pelas linhas 2 e 3 e colunas 1 e 2:
4 & 0 -3 & 2 =4cdot2 - 0cdot(-3)=8neq0
Portanto rank(A)=2.

Passo 4

Para que rank([A|b]) também seja 2, basta exigir que b esteja no espaço gerado por duas colunas independentes de A. Tomando as colunas 1 e 2, formamos o menor 3times 3
det 0 & -4 & 1 4 & 0 & 2 -3& 2 & 3-k =80 - 16k
Para que esse determinante seja zero (e não aumente o posto), precisamos de
80 - 16k = 0 Longrightarrow k = 5

Resposta

k = 5

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