Calcule os determinantes seguintes, aplicando a regra de Laplace:
(a) \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{array}\right|;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}
usando a regra de Laplace. Vamos precisar usar os conceitos de menor M_{ij} e cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.

Passo 2

Escolhemos expandir pela primeira linha. A regra de Laplace diz
\det A \;=\;\sum_{j=1}^{3}a_{1j}\,C_{1j}
com C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j}.

Passo 3

Calcular os menores M_{11},M_{12},M_{13}:
M_{11}=\begin{vmatrix}5 & 6 \\\\ 8 & 9\end{vmatrix}=5\cdot9-6\cdot8=-3,\quad M_{12}=\begin{vmatrix}4 & 6 \\\\ 7 & 9\end{vmatrix}=4\cdot9-6\cdot7=-6,
M_{13}=\begin{vmatrix}4 & 5 \\\\ 7 & 8\end{vmatrix}=4\cdot8-5\cdot7=-3.

Passo 4

Obter os cofatores e montar a expansão:
C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=-3,\quad C_{12}=(-1)^{3}M_{12}=6,\quad C_{13}=(-1)^{4}M_{13}=-3,
\det A = 1\cdot C_{11}+2\cdot C_{12}+3\cdot C_{13}.

Passo 5

Substituindo os valores:
\det A = 1\cdot(-3)+2\cdot6+3\cdot(-3)=-3+12-9=0.

Resposta

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