As seguintes três matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é
, e (ii) para um lado direito geral
? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
para um sistema com
equações e
incógnitas, e pede:
- (i) quantas soluções tem o sistema homogêneo
; - (ii) quantas soluções tem
para um vetor genérico.
Para resolver, vamos usar a teoria de posto (rank): o número de soluções homogêneas é dado por , e a existência de soluções emdepende de coincidir com o posto da matriz ampliada .
Passo 2
Calculemos todos os menores de ordem
para determinar
. Os três menores são:
Logo:
- Se pelo menos um de
for não nulo, então . - Caso contrário todos se anulam, ou seja,
que implicam
e
. Nesse caso
.
Passo 3
Sistema homogêneo
.
- Se , então o espaço solução tem dimensão
ou seja, há infinitas soluções não-triviais (uma família de reta).
- Se
(isto é,
), então
e há ainda mais graus de liberdade, logo infinitas soluções.
Em resumo, em todo caso o homogêneo tem infinitas soluções (além da trivial).
Passo 4
Sistema não-homogêneo
. Compatibilidade e número de soluções:
- Quando
(isto é, nem ambos
e ), o posto da matriz ampliada também será para qualquer . Então o sistema é sempre compatível e, como há grau de liberdade, tem infinitas soluções para todo . - Quando
(isto é,
e ), a matriz fica
cujo espaço coluna é a reta
. O sistema
é compatível só se
. Nesse caso há
graus de liberdade e, portanto, infinitas soluções; se
, não há solução.
Resposta
(i) Para o homogêneo
, em todos os casos
, logo há infinitas soluções (não-triviais).
(ii) Para :
(ii) Para
- Se não ocorrem simultaneamente
e , então e o sistema é compatível para todo , com infinitas soluções. - Se
e , então e o sistema só é compatível se ; nesse subcaso há infinitas soluções, caso contrário nenhuma solução.