As seguintes três matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}B & 1 & 4 \\\ A & C & C\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
M=\begin{pmatrix} B & 1 & 4\\\ A & C & C \end{pmatrix}
para um sistema com m=2 equações e n=3 incógnitas, e pede:
  1. (i) quantas soluções tem o sistema homogêneo M x=0;
  2. (ii) quantas soluções tem M x=b para um vetor b genérico.
    Para resolver, vamos usar a teoria de posto (rank): o número de soluções homogêneas é dado por n-\rank(M), e a existência de soluções em M x=b depende de \rank(M) coincidir com o posto da matriz ampliada [M\mid b].

Passo 2

Calculemos todos os menores de ordem 2 para determinar \rank(M). Os três menores são:
\Delta_{12} =\det\begin{pmatrix}B&1\A&C\end{pmatrix} =BC - A,
\Delta_{13} =\det\begin{pmatrix}B&4\A&C\end{pmatrix} =BC - 4A,
\Delta_{23} =\det\begin{pmatrix}1&4\C&C\end{pmatrix} =1\cdot C - 4\cdot C =-3C.
Logo:
  • Se pelo menos um de \Delta_{12},\Delta_{13},\Delta_{23} for não nulo, então \rank(M)=2.
  • Caso contrário todos se anulam, ou seja,
BC - A = 0,\quad BC - 4A = 0,\quad C=0,
que implicam C=0 e A=0. Nesse caso \rank(M)=1.

Passo 3

Sistema homogêneo M x=0.
  • Se \rank(M)=2, então o espaço solução tem dimensão
n-\rank(M)=3-2=1,
ou seja, há infinitas soluções não-triviais (uma família de reta).
  • Se \rank(M)=1 (isto é, A=0,C=0), então
n-\rank(M)=3-1=2,
e há ainda mais graus de liberdade, logo infinitas soluções.
Em resumo, em todo caso o homogêneo tem infinitas soluções (além da trivial).

Passo 4

Sistema não-homogêneo M x=b. Compatibilidade e número de soluções:
  • Quando \rank(M)=2 (isto é, nem ambos A=0 e C=0), o posto da matriz ampliada [M\mid b] também será 2 para qualquer b\in\mathbb{R}^2. Então o sistema é sempre compatível e, como há 3-2=1 grau de liberdade, tem infinitas soluções para todo b.
  • Quando \rank(M)=1 (isto é, A=0 e C=0), a matriz fica
M=\begin{pmatrix}B&1&4\\\ 0&0&0\end{pmatrix},
cujo espaço coluna é a reta \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}. O sistema M x=b=(b_1,b_2) é compatível só se b_2=0. Nesse caso há 3-1=2 graus de liberdade e, portanto, infinitas soluções; se b_2\neq0, não há solução.

Resposta

(i) Para o homogêneo M x=0, em todos os casos \rank(M)<3, logo há infinitas soluções (não-triviais).
(ii) Para M x=b:
  • Se não ocorrem simultaneamente A=0 e C=0, então \rank(M)=2 e o sistema é compatível para todo b, com infinitas soluções.
  • Se A=0 e C=0, então \rank(M)=1 e o sistema só é compatível se b_2=0; nesse subcaso há infinitas soluções, caso contrário nenhuma solução.

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