1. (1,5 ponto) Os vetores v_{1}=(1,2,-1,1), v_{2}=(2,-1,1,1), v_{3}=(1,2,1,-1) e v_{4}=(2,-2,1,-1) geram o \mathbb{R}^{4} ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \displaystyle v_{1}=(1,2,-1,1), \displaystyle v_{2}=(2,-1,1,1), \displaystyle v_{3}=(1,2,1,-1) e \displaystyle v_{4}=(2,-2,1,-1) em \mathbb{R}^4 e pergunta se eles geram \mathbb{R}^4.
Conteúdo: espaços vetoriais, sistemas geradores e posto de matriz.
Plano: formar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e usar eliminação de Gauss para verificar se o posto é 4.

Passo 2

Montamos a matriz A\in M_{4\times4}(\mathbb{R}) com as colunas iguais a v_1,v_2,v_3,v_4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & 2 & -2\\\\ -1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para triangularizar A:
  1. Usamos a_{11}=1 para zerar abaixo:
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3+R_1,\quad R_4\leftarrow R_4-R_1 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 0 & -5 & 0 & -6\\\\ 0 & 3 & 2 & 3\\\\ 0 & -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
  1. Pivot em a_{22}=-5 para zerar abaixo:
R_3\leftarrow R_3+\tfrac{3}{5}R_2,\quad R_4\leftarrow R_4-\tfrac{1}{5}R_2 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 0 & -5 & 0 & -6\\\\ 0 & 0 & 2 & -\tfrac{3}{5}\\\\ 0 & 0 & -2 & -\tfrac{9}{5} \end{pmatrix}.
  1. Pivot em a_{33}=2 para zerar abaixo:
R_4\leftarrow R_4-(-1)\,R_3 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 0 & -5 & 0 & -6\\\\ 0 & 0 & 2 & -\tfrac{3}{5}\\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac{12}{5} \end{pmatrix}.
Como todos os pivôs são não nulos, o posto de A é 4.

Passo 4

O posto de A é 4, igual à dimensão de \mathbb{R}^4. Logo os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 são linearmente independentes e formam um gerador de \mathbb{R}^4.

Resposta

Sim. Os quatro vetores geram \mathbb{R}^4 porque a matriz formada por eles tem posto 4.

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