(1,5 ponto) Os vetores v_{1}=(1,2,-1,1), v_{2}=(2,-1,1,1), v_{3}=(1,2,1,-1) e v_{4}=(2,-2,1,-1) geram o \mathbb{R}^{4} ? Explique.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \displaystyle v_{1}=(1,2,-1,1), \displaystyle v_{2}=(2,-1,1,1), \displaystyle v_{3}=(1,2,1,-1) e \displaystyle v_{4}=(2,-2,1,-1) em \mathbb{R}^4 e pergunta se eles geram \mathbb{R}^4.
Conteúdo: espaços vetoriais, sistemas geradores e posto de matriz.
Plano: formar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e usar eliminação de Gauss para verificar se o posto é 4.
Passo 2
Montamos a matriz A\in M_{4\times4}(\mathbb{R}) com as colunas iguais a v_1,v_2,v_3,v_4: