Questão 2. (1 ponto) Calcule a área do triângulo de vértices A=(-1,3,2), B=(4,4,1) e C=(-2,-1,5). (1 ponto) Calcule também a área do triângulo projetado em O x y.

Passo 1

O enunciado pede duas áreas de triângulos: primeiro o triângulo em \mathbb{R}^3 com vértices
A=(-1,3,2),\quad B=(4,4,1),\quad C=(-2,-1,5),
e depois o triângulo que se obtém projetando esses mesmos vértices no plano Oxy. Para resolver precisamos usar a definição de área em \mathbb{R}^3 via produto vetorial e, no caso do plano xy, o determinante 2\times 2 para área em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Primeiro construímos os vetores que ligam A a B e A a C:
\vec{AB}=B - A = (4-(-1),\,4-3,\,1-2)=(5,1,-1),
\vec{AC}=C - A = (-2-(-1),\,-1-3,\,5-2)=(-1,-4,3).

Passo 3

A área do paralelogramo gerado por \vec{AB} e \vec{AC} é \|\vec{AB}\times\vec{AC}\|, então vamos calcular o produto vetorial:
\vec{AB}\times\vec{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 5 & 1 & -1\\\\ -1 & -4 & 3 \end{vmatrix} =(-1)\,\mathbf{i}+(-14)\,\mathbf{j}+(-19)\,\mathbf{k} =(-1,-14,-19).

Passo 4

O módulo desse vetor é
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| =\sqrt{(-1)^2+(-14)^2+(-19)^2} =\sqrt{1+196+361} =\sqrt{558} =3\sqrt{62}.
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, temos
\text{Área}_{3D} =\frac12\,\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| =\frac12\cdot3\sqrt{62} =\frac{3\sqrt{62}}{2}.Á

Passo 5

Para projetar no plano xy, basta desprezar a coordenada z. Assim os vértices viram
A'=(-1,3),\quad B'=(4,4),\quad C'=(-2,-1).
Definimos os vetores em \mathbb{R}^2:
\vec{A'B'}=(5,1), \quad \vec{A'C'}=(-1,-4).

Passo 6

Em \mathbb{R}^2, a área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante
\det\bigl[\vec{A'B'},\,\vec{A'C'}\bigr] =\det\begin{pmatrix}5 & -1\\\ 1 & -4\end{pmatrix} =5\cdot(-4)-1\cdot(-1) =-20+1 =-19,
cujo módulo é 19. A área do triângulo projetado é metade disso:
\text{Área}_{xy} =\frac12\cdot19 =\frac{19}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \text{Área do triângulo em \(\mathbb{R}^3}=\frac{3\sqrt{62}}{2}. \displaystyle Área do triângulo projetado em Oxy=\frac{19}{2}.)

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