Questão 2. (1 ponto) Calcule a área do triângulo de vértices A=(-1,3,2), B=(4,4,1) e C=(-2,-1,5). (1 ponto) Calcule também a área do triângulo projetado em O x y.
Passo 1
O enunciado pede duas áreas de triângulos: primeiro o triângulo em \mathbb{R}^3 com vértices
A=(-1,3,2),\quad B=(4,4,1),\quad C=(-2,-1,5),
e depois o triângulo que se obtém projetando esses mesmos vértices no plano Oxy. Para resolver precisamos usar a definição de área em \mathbb{R}^3 via produto vetorial e, no caso do plano xy, o determinante 2\times 2 para área em \mathbb{R}^2.
Passo 2
Primeiro construímos os vetores que ligam A a B e A a C:
\vec{AB}=B - A = (4-(-1),\,4-3,\,1-2)=(5,1,-1),
\vec{AC}=C - A = (-2-(-1),\,-1-3,\,5-2)=(-1,-4,3).
Passo 3
A área do paralelogramo gerado por \vec{AB} e \vec{AC} é \|\vec{AB}\times\vec{AC}\|, então vamos calcular o produto vetorial: