Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 ]
Verifique se a transformação é sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 representada, na base canônica, pela matriz
A= 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3
Queremos verificar se T é sobrejetiva. Num espaço vetorial de dimensão finita igual em domínio e contradomínio, isso ocorre exatamente quando rank(A)=3, ou seja, quando det(A)neq0. Então vamos calcular det(A).

Passo 2

Usando desenvolvimento por cofactores na primeira linha, temos
det(A) =3det3 & -1-1 & 3 -(-1)det-1 & -11 & 3 +1det-1 & 31 & -1
Agora calculamos cada menor:
det3 & -1-1 & 3 =3cdot3 -(-1)(-1)=9-1=8,
det-1 & -11 & 3 =(-1)cdot3 -(-1)cdot1=-3+1=-2,
det-1 & 31 & -1 =(-1)cdot(-1) - 3cdot1=1-3=-2
Substituindo,
det(A) =3cdot8 -(-1)cdot(-2) +1cdot(-2) =24 -2 -2 =20

Passo 3

Como det(A)=20neq0, segue que rank(A)=3. Logo, a transformação linear T é invertível e, em particular, sobrejetiva.

Resposta

A transformação T é sobrejetiva.

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