Calcule os determinantes das seguintes matrizes
[ccccc1 & 4 & 0 & 0 & 1 0 & 3 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -5 & 0 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes de ordem maior, usando propriedades como expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz que temos:
1 & 4 & 0 & 0 & 1 0 & 3 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -5 & 0 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0
Percebemos que há muitos zeros nessa matriz, o que facilita o cálculo do determinante. Uma boa estratégia é expandir o determinante por uma linha ou coluna que tenha muitos zeros.

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela primeira coluna, já que ela contém quatro zeros e apenas um número diferente de zero (o 1 no topo). A regra para expansão por cofatores diz que:
det(A) = a11 cdot C11 + a21 cdot C21 + ldots + an1 cdot Cn1
Onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores. Porém, como os outros elementos da primeira coluna são zeros, apenas o primeiro termo vai contribuir.

Passo 4

Então, o determinante simplifica para:
det(A) = 1 cdot det( cccc 3 & 0 & 0 & 0 1 & -5 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 )
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz 4x4. Observando novamente, vemos que ela também tem muitos zeros, então podemos expandir de novo por uma linha ou coluna com zeros. Vamos expandir pela primeira coluna dessa submatriz.

Passo 5

Explicando rapidinho: ao expandir essa submatriz 4x4 pela primeira coluna, temos:
det( cccc 3 & 0 & 0 & 0 1 & -5 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 ) = 3 cdot det( ccc -5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 )
Aí, notamos que a submatriz 3x3 também tem muitos zeros, facilitando ainda mais o cálculo. O determinante dessa 3x3 é:
-5 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) = -5 cdot (-1) = 5
Então, voltando:
3 cdot 5 = 15

Resposta

O determinante da matriz dada é 15.

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