Resolva o sistema
x+2 y+z-w & =4 2 x+y-4 z+w & =-1 -x+3 y+5 z & =7

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear
x + 2y + z - w = 4, 2x + y - 4z + w = -1, -,x + 3y + 5z = 7,
que tem quatro incógnitas e três equações. Vamos aplicar eliminação de Gauss para escalonar a matriz aumentada e, em seguida, usar substituição regressiva, tomando w como parâmetro livre.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos da segunda e da terceira linhas usando a primeira:
resultando em

Passo 3

Agora eliminamos da terceira linha usando a segunda:

Passo 4

A terceira linha agora é
-4z + 4w = -4
Dividindo ambos os lados por -4 obtemos
z - w = 1 Longrightarrow z = 1 + w

Passo 5

Usamos z=1+w na segunda linha, que é
-3y - 6z + 3w = -9
Dividindo por -3
y + 2z - w = 3 Longrightarrow y = 3 - 2z + w
Substituindo z=1+w resulta
y = 3 - 2(1+w) + w = 1 - w

Passo 6

Finalmente usamos y=1-w e z=1+w na primeira equação
x + 2y + z - w = 4
para obter
x = 4 - 2y - z + w = 4 - 2(1 - w) - (1 + w) + w = 1 + 2w

Resposta

A solução geral é
(x,y,z,w) = l(1 + 2t,;1 - t,;1 + t,;tr),
onde tinR é o parâmetro livre.

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