Para quais valores de a a matriz [ccc1 & 1 & 2 1 & a & 1 3 & 1 & 5 a] é invertível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz 3 times 3 e queremos descobrir para quais valores de a essa matriz é invertível. Na matemática, uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos precisar calcular o determinante dessa matriz e ver para quais a ele não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que recebemos:
1 & 1 & 2 1 & a & 1 3 & 1 & 5a
Para calcular o determinante de uma matriz 3 times 3 , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores aqui.
O determinante det(A) da matriz A é dado por:
det(A) = 1 cdot det a & 1 1 & 5a - 1 cdot det 1 & 1 3 & 5a + 2 cdot det 1 & a 3 & 1
Agora, vamos calcular cada um desses menores 2 times 2 :
  1. det a & 1 1 & 5a = a cdot 5a - 1 cdot 1 = 5a^2 - 1
  2. det 1 & 1 3 & 5a = 1 cdot 5a - 1 cdot 3 = 5a - 3
  3. det 1 & a 3 & 1 = 1 cdot 1 - a cdot 3 = 1 - 3a
Substituindo esses valores de volta na expressão do determinante:
det(A) = 1 cdot (5a^2 - 1) - 1 cdot (5a - 3) + 2 cdot (1 - 3a)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão do determinante:
det(A) = 5a^2 - 1 - 5a + 3 + 2 - 6a
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos com a^2 : 5a^2
  • Termos com a : -5a - 6a = -11a
  • Termos constantes: -1 + 3 + 2 = 4
Então, temos:
det(A) = 5a^2 - 11a + 4
Para a matriz ser invertível, o determinante precisa ser diferente de zero:
5a^2 - 11a + 4 neq 0
Vamos resolver a equação quadrática 5a^2 - 11a + 4 = 0 para encontrar os valores de a que não são permitidos (pois queremos que o determinante seja diferente de zero).
Usando a fórmula de Bhaskara:
a = 11 pm raiz(-11)^2 - 4 cdot 5 cdot 42 cdot 5 = 11 pm raiz121 - 8010 = 11 pm raiz4110
Portanto, os valores de a que tornam o determinante zero são:
a = 11 + raiz4110 e a = 11 - raiz4110

Resposta

A matriz é invertível para todos os valores de a exceto quando a = 11 pm raiz4110 . Ou seja, para todo a in R tal que a neq 11 + raiz4110 e a neq 11 - raiz4110 .

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