Calcule os determinantes das seguintes matrizes
E=[ccccos (theta) & sin (theta) & tan (theta) 0 & cos (theta) & -sin (theta) 0 & sin (theta) & cos (theta)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o determinante da matriz E que é assim:
E = cos(theta) & sin(theta) & tan(theta) 0 & cos(theta) & -sin(theta) 0 & sin(theta) & cos(theta)
O conteúdo aqui é determinantes de matrizes, que é fundamental na Álgebra Linear para entender propriedades como inversibilidade. Vamos precisar aplicar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores para matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Uma forma fácil é usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou optar pela expansão pela primeira linha para facilitar.
A fórmula geral para o determinante de uma matriz 3x3 A = a & b & c d & e & f g & h & i é:
det(A) = a cdot det e & f h & i - b cdot det d & f g & i + c cdot det d & e g & h

Passo 3

Agora, aplicando isso à nossa matriz E :
det(E) = cos(theta) cdot det cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta) - sin(theta) cdot det 0 & -sin(theta) 0 & cos(theta) + tan(theta) cdot det 0 & cos(theta) 0 & sin(theta)
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. Primeiro determinante:
det cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta) = cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1
Aqui, usamos a identidade trigonométrica cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 .
  1. Segundo determinante:
det 0 & -sin(theta) 0 & cos(theta) = 0 cdot cos(theta) - 0 cdot (-sin(theta)) = 0
  1. Terceiro determinante:
det 0 & cos(theta) 0 & sin(theta) = 0 cdot sin(theta) - 0 cdot cos(theta) = 0

Passo 4

Agora, substituindo de volta na fórmula do determinante:
det(E) = cos(theta) cdot 1 - sin(theta) cdot 0 + tan(theta) cdot 0 = cos(theta)

Resposta

O determinante da matriz E é:
det(E) = cos(theta)

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