Suponha que A e B são matrizes quadradas n times n, com B invertível. Mostre que det(B^-1 A B)=det(A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o determinante de B^-1AB é igual ao determinante de A , onde A e B são matrizes quadradas n times n e B é invertível. Vamos usar conceitos de determinantes e propriedades das matrizes invertíveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja, se temos duas matrizes X e Y , então det(XY) = det(X) cdot det(Y) .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade à matriz B^-1AB . Podemos pensar nessa expressão como o produto de três matrizes: B^-1 , A e B . Então:
det(B^-1AB) = det(B^-1) cdot det(A) cdot det(B)

Passo 4

Sabemos também que o determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja, det(B^-1) = 1det(B) .

Passo 5

Substituindo isso na expressão que temos:
det(B^-1AB) = 1det(B) cdot det(A) cdot det(B)

Passo 6

Observe que 1det(B) e det(B) se cancelam, ficando apenas:
det(B^-1AB) = det(A)

Resposta

Portanto, mostramos que det(B^-1AB) = det(A) .

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