Suponha que
e
são matrizes quadradas
, com
invertível. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o determinante de
é igual ao determinante de
, onde
e
são matrizes quadradas
e
é invertível. Vamos usar conceitos de determinantes e propriedades das matrizes invertíveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja, se temos duas matrizes
e
, então
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa propriedade à matriz
. Podemos pensar nessa expressão como o produto de três matrizes:
,
e
. Então:
Passo 4
Sabemos também que o determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja,
.
Passo 5
Substituindo isso na expressão que temos:
Passo 6
Observe que
e
se cancelam, ficando apenas:
Resposta
Portanto, mostramos que
.