Calcule o determinantes das seguintes matrizes.
M=[cccc 3 & 1 & 2 & -2 0 & 2 & 0 & 4 0 & 4 & 1 & -2 0 & 1 & 3 & 3 ] B=[llll 4 & 1 & 2 & 0 3 & 1 & 0 & 2 0 & 3 & 2 & 2 5 & 0 & 2 & 1 ]

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular o determinante de duas matrizes quadradas de ordem 4. O determinante é uma ferramenta importante na matemática que nos ajuda a entender várias propriedades das matrizes, como se elas têm inversa ou não. Para resolver isso, vamos usar o método de expansão de cofatores, que basicamente quebra a matriz em partes menores para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz, a matriz M:
M = [cccc 3 & 1 & 2 & -2 0 & 2 & 0 & 4 0 & 4 & 1 & -2 0 & 1 & 3 & 3 ]
Observe que na primeira coluna, só temos um número diferente de zero, que é o 3 no topo. Isso facilita a nossa vida porque a expansão de cofatores nessa coluna terá apenas um termo não zero.

Passo 3

Para calcular o determinante usando a expansão de cofatores na primeira coluna, usamos a fórmula:
det(M) = a11 cdot C11
Onde a11 = 3 e C11 é o cofator correspondente. O cofator C11 é calculado como:
C11 = (-1)^1+1 cdot det(M11)
Como (-1)^2 = 1 , fica:
C11 = det(M11)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a matriz menor M11 , que é a matriz resultante de remover a primeira linha e a primeira coluna de M:
M11 = [ccc 2 & 0 & 4 4 & 1 & -2 1 & 3 & 3 ]
Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3 usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores novamente. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus.

Passo 5

Usando a regra de Sarrus para M11 :
det(M11) = 2 cdot 1 cdot 3 + 0 cdot (-2) cdot 1 + 4 cdot 4 cdot 3 - (4 cdot 1 cdot 1 + 0 cdot 4 cdot 3 + 2 cdot (-2) cdot 3)
Calculando cada termo:
= 2 times 1 times 3 + 0 times (-2) times 1 + 4 times 4 times 3 - (4 times 1 times 1 + 0 times 4 times 3 + 2 times (-2) times 3)
= 6 + 0 + 48 - (4 + 0 - 12)
= 54 - (-8)
= 54 + 8 = 62

Passo 6

Agora, voltando ao cálculo do determinante de M:
det(M) = 3 cdot 62 = 186

Passo 7

Vamos passar para a segunda matriz, a matriz B:
B = [llll 4 & 1 & 2 & 0 3 & 1 & 0 & 2 0 & 3 & 2 & 2 5 & 0 & 2 & 1 ]
Para calcular o determinante de B, vamos escolher uma coluna que tenha zeros para facilitar a expansão. A quarta coluna tem um zero, então vamos usar ela para a expansão de cofatores.

Passo 8

Usando a expansão de cofatores na quarta coluna, a fórmula é:
det(B) = sumi=1^4 (-1)^i+4 cdot ai4 cdot Ci4
Onde ai4 são os elementos da quarta coluna e Ci4 são os cofatores correspondentes. Vamos calcular termo a termo:
  1. Para i = 1 :
(-1)^5 cdot 0 cdot C14 = 0
  1. Para i = 2 :
(-1)^6 cdot 2 cdot C24 = 1 cdot 2 cdot C24 = 2C24
  1. Para i = 3 :
(-1)^7 cdot 2 cdot C34 = -1 cdot 2 cdot C34 = -2C34
  1. Para i = 4 :
(-1)^8 cdot 1 cdot C44 = 1 cdot 1 cdot C44 = C44
Então,
det(B) = 2C24 - 2C34 + C44

Passo 9

Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator C24 : Remove a segunda linha e a quarta coluna:
C24 = (-1)^2+4 cdot det([lll 4 & 1 & 2 0 & 3 & 2 5 & 0 & 2 ]) = det([lll 4 & 1 & 2 0 & 3 & 2 5 & 0 & 2 ])
Calculando o determinante dessa matriz 3x3:
= 4(3 times 2 - 2 times 0) - 1(0 times 2 - 2 times 5) + 2(0 times 0 - 3 times 5)
= 4(6 - 0) - 1(0 - 10) + 2(0 - 15)
= 24 + 10 - 30 = 4
  • Cofator C34 : Remove a terceira linha e a quarta coluna:
C34 = (-1)^3+4 cdot det([lll 4 & 1 & 2 3 & 1 & 0 5 & 0 & 2 ]) = -det([lll 4 & 1 & 2 3 & 1 & 0 5 & 0 & 2 ])
Calculando o determinante:
= 4(1 times 2 - 0 times 0) - 1(3 times 2 - 0 times 5) + 2(3 times 0 - 1 times 5)
= 4(2) - 1(6 - 0) + 2(0 - 5)
= 8 - 6 - 10 = -8
Então,
C34 = -(-8) = 8
  • Cofator C44 : Remove a quarta linha e a quarta coluna:
C44 = (-1)^4+4 cdot det([lll 4 & 1 & 2 3 & 1 & 0 0 & 3 & 2 ]) = det([lll 4 & 1 & 2 3 & 1 & 0 0 & 3 & 2 ])
Calculando o determinante:
= 4(1 times 2 - 0 times 3) - 1(3 times 2 - 0 times 0) + 2(3 times 3 - 1 times 0)
= 4(2) - 1(6 - 0) + 2(9 - 0)
= 8 - 6 + 18 = 20

Passo 10

Agora, substituindo os cofatores na fórmula do determinante de B:
det(B) = 2C24 - 2C34 + C44 = 2 times 4 - 2 times 8 + 20 = 8 - 16 + 20 = 12

Resposta

O determinante da matriz M é 186 e o determinante da matriz B é 12.

Exercícios relacionados