Dada a matriz A, determine, se existir, sua inversa A^-1.
A=[rrr 1 & -3 & 1 -2 & 3 & -1 -1 & 2 & -1 ]

Passo 1

Beleza, temos uma matriz A e queremos descobrir se ela tem uma inversa, ou seja, se existe uma matriz A^-1 tal que A times A^-1 = I , onde I é a matriz identidade. Isso faz parte da Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz A . Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A . Para uma matriz 3 times 3 , o determinante pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vou usar a regra de Sarrus para facilitar.
A matriz A é:
A = 1 & -3 & 1 -2 & 3 & -1 -1 & 2 & -1
Aplicando a regra de Sarrus:
det(A) = 1 cdot 3 cdot (-1) + (-3) cdot (-1) cdot (-1) + 1 cdot (-2) cdot 2 - [1 cdot 3 cdot (-1) + (-3) cdot (-2) cdot (-1) + 1 cdot (-1) cdot 2]
Vamos calcular cada termo:
= (1 times 3 times -1) + (-3 times -1 times -1) + (1 times -2 times 2) - [1 times 3 times -1 + (-3) times (-2) times -1 + 1 times -1 times 2]
= (-3) + (-3) + (-4) - [(-3) + (-6) + (-2)]
= -10 - (-11)
= -10 + 11
= 1
Então, o determinante de A é 1 .

Passo 3

Como o determinante det(A) = 1 é diferente de zero, sabemos que a matriz A possui uma inversa. Agora, vamos encontrar essa inversa A^-1 .
Para encontrar A^-1 , usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta de A . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de A .
Vamos calcular os cofatores de cada elemento de A :
  1. Cofator C11 :
C11 = 3 & -1 2 & -1 = (3)(-1) - (-1)(2) = -3 + 2 = -1
  1. Cofator C12 :
C12 = - -2 & -1 -1 & -1 = -[(-2)(-1) - (-1)(-1)] = -[2 - 1] = -1
  1. Cofator C13 :
C13 = -2 & 3 -1 & 2 = (-2)(2) - (3)(-1) = -4 + 3 = -1
  1. Cofator C21 :
C21 = - -3 & 1 2 & -1 = -[(-3)(-1) - (1)(2)] = -[3 - 2] = -1
  1. Cofator C22 :
C22 = 1 & 1 -1 & -1 = (1)(-1) - (1)(-1) = -1 + 1 = 0
  1. Cofator C23 :
C23 = - 1 & -3 -1 & 2 = -[(1)(2) - (-3)(-1)] = -[2 - 3] = 1
  1. Cofator C31 :
C31 = -3 & 1 3 & -1 = (-3)(-1) - (1)(3) = 3 - 3 = 0
  1. Cofator C32 :
C32 = - 1 & 1 -2 & -1 = -[(1)(-1) - (1)(-2)] = -[-1 + 2] = -1
  1. Cofator C33 :
C33 = 1 & -3 -2 & 3 = (1)(3) - (-3)(-2) = 3 - 6 = -3
Agora, a matriz dos cofatores C é:
C = -1 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 0 & -1 & -3
A adjunta adj(A) é a transposta de C :
adj(A) = C^T = -1 & -1 & 0 -1 & 0 & -1 -1 & 1 & -3
Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 11 cdot -1 & -1 & 0 -1 & 0 & -1 -1 & 1 & -3 = -1 & -1 & 0 -1 & 0 & -1 -1 & 1 & -3

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = -1 & -1 & 0 -1 & 0 & -1 -1 & 1 & -3

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