Considerando os pontos e resolva os exercícios abaixo:
(a) Verifique que os pontos e determinam um tetraedro .
(b) Determine a área da face representada pelo triângulo ABC, USANDO PRODUTO VETORIAL.
(c) Determine, USANDO PROJEÇÃO ORTOGONAL, a altura relativa à face contendo e .
(d) Calcule o volume desse tetraedro USANDO PRODUTO MISTO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: , , e . Precisamos verificar se eles formam um tetraedro e calcular algumas propriedades desse tetraedro, como a área de uma das faces, a altura e o volume. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, produtos vetoriais e mistos, e projeção ortogonal.
Passo 2
(a) Verificar que os pontos e determinam um tetraedro.
Para formar um tetraedro, os quatro pontos não devem estar todos no mesmo plano. Ou seja, eles devem ser coplanares ou não?
Uma maneira de verificar isso é calcular o produto misto dos vetores formados por esses pontos. Se o produto misto for diferente de zero, os pontos não estão no mesmo plano e, portanto, formam um tetraedro.
Primeiro, vamos escolher como ponto de referência e formar os vetores:
Agora, calculamos o produto misto :
Primeiro, o produto vetorial :
Agora, o produto escalar AD cdot (BD times CD) :
AD cdot (0,1,0) = 0cdot0 + 1cdot1 + 0cdot0 = 1
Como o produto misto é diferente de zero (1 neq 0), os pontos não estão no mesmo plano e formam um tetraedro.
Passo 3
(b) Determinar a área da face representada pelo triângulo ABC, usando produto vetorial.
Para encontrar a área de um triângulo formado por três pontos no espaço, podemos usar a fórmula da metade da norma do produto vetorial de dois vetores que formam os lados do triângulo.
Primeiro, vamos formar dois vetores no triângulo ABC :
AB = B - A = (1-1, 1-2, 2-1) = (0, -1, 1)
AC = C - A = (2-1, 1-2, 1-1) = (1, -1, 0)
Agora, calculamos o produto vetorial AB times AC :
AB times AC = i & j & k 0 & -1 & 1 1 & -1 & 0 = ( (-1)cdot0 - 1cdot(-1))i - ( 0cdot0 - 1cdot1)j + ( 0cdot(-1) - (-1)cdot1)k = (0 +1)i - (0 -1)j + (0 +1)k = (1,1,1)
A norma desse vetor é:
|AB times AC| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Então, a área do triângulo ABC é:
Área = 12 |AB times AC| = raiz32 Á
Passo 4
(c) Determinar, usando projeção ortogonal, a altura relativa à face contendo A, B e C .
A altura relativa a uma face em um tetraedro é a distância de um dos vértices fora da face até o plano da face. Vamos encontrar a altura relativa ao ponto D em relação à face ABC .
Primeiro, precisamos da equação do plano que passa pelos pontos A, B, C . Podemos usar o produto vetorial para achar o vetor normal ao plano.
Já calculamos AB times AC = (1,1,1) , então o vetor normal é n = (1,1,1) .
A equação do plano é:
1(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 1) = 0 Rightarrow x + y + z - 4 = 0
A distância de um ponto D=(1,1,1) a esse plano é dada por: