Considerando os pontos A=(1,2,1), B=(1,1,2), C=(2,1,1) e D= (1,1,1) resolva os exercícios abaixo:
(a) Verifique que os pontos A, B, C e D determinam um tetraedro T.
(b) Determine a área da face representada pelo triângulo ABC, USANDO PRODUTO VETORIAL.
(c) Determine, USANDO PROJEÇÃO ORTOGONAL, a altura relativa à face contendo A, B e C.
(d) Calcule o volume desse tetraedro USANDO PRODUTO MISTO.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: A=(1,2,1) , B=(1,1,2) , C=(2,1,1) e D=(1,1,1) . Precisamos verificar se eles formam um tetraedro e calcular algumas propriedades desse tetraedro, como a área de uma das faces, a altura e o volume. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, produtos vetoriais e mistos, e projeção ortogonal.

Passo 2

(a) Verificar que os pontos A, B, C e D determinam um tetraedro.
Para formar um tetraedro, os quatro pontos não devem estar todos no mesmo plano. Ou seja, eles devem ser coplanares ou não?
Uma maneira de verificar isso é calcular o produto misto dos vetores formados por esses pontos. Se o produto misto for diferente de zero, os pontos não estão no mesmo plano e, portanto, formam um tetraedro.
Primeiro, vamos escolher D como ponto de referência e formar os vetores:
AD = A - D = (1-1, 2-1, 1-1) = (0,1,0)
BD = B - D = (1-1, 1-1, 2-1) = (0,0,1)
CD = C - D = (2-1, 1-1, 1-1) = (1,0,0)
Agora, calculamos o produto misto AD cdot (BD times CD) :
Primeiro, o produto vetorial BD times CD :
BD times CD = i & j & k 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 = (0cdot0 - 1cdot0)i - (0cdot0 - 1cdot1)j + (0cdot0 - 0cdot1)k = (0)i - (-1)j + (0)k = (0,1,0)
Agora, o produto escalar AD cdot (BD times CD) :
AD cdot (0,1,0) = 0cdot0 + 1cdot1 + 0cdot0 = 1
Como o produto misto é diferente de zero ( 1 neq 0), os pontos não estão no mesmo plano e formam um tetraedro.

Passo 3

(b) Determinar a área da face representada pelo triângulo ABC, usando produto vetorial.
Para encontrar a área de um triângulo formado por três pontos no espaço, podemos usar a fórmula da metade da norma do produto vetorial de dois vetores que formam os lados do triângulo.
Primeiro, vamos formar dois vetores no triângulo ABC :
AB = B - A = (1-1, 1-2, 2-1) = (0, -1, 1)
AC = C - A = (2-1, 1-2, 1-1) = (1, -1, 0)
Agora, calculamos o produto vetorial AB times AC :
AB times AC = i & j & k 0 & -1 & 1 1 & -1 & 0 = ( (-1)cdot0 - 1cdot(-1))i - ( 0cdot0 - 1cdot1)j + ( 0cdot(-1) - (-1)cdot1)k = (0 +1)i - (0 -1)j + (0 +1)k = (1,1,1)
A norma desse vetor é:
|AB times AC| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Então, a área do triângulo ABC é:
Área = 12 |AB times AC| = raiz32 Á

Passo 4

(c) Determinar, usando projeção ortogonal, a altura relativa à face contendo A, B e C .
A altura relativa a uma face em um tetraedro é a distância de um dos vértices fora da face até o plano da face. Vamos encontrar a altura relativa ao ponto D em relação à face ABC .
Primeiro, precisamos da equação do plano que passa pelos pontos A, B, C . Podemos usar o produto vetorial para achar o vetor normal ao plano.
Já calculamos AB times AC = (1,1,1) , então o vetor normal é n = (1,1,1) .
A equação do plano é:
1(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 1) = 0 Rightarrow x + y + z - 4 = 0
A distância de um ponto D=(1,1,1) a esse plano é dada por:
h = |1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot1 - 4|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |3 - 4|raiz3 = 1raiz3 = raiz33
Então, a altura é raiz33 .

Passo 5

(d) Calcular o volume desse tetraedro usando produto misto.
O volume de um tetraedro pode ser calculado usando o produto misto de três vetores que partem de um mesmo vértice, dividido por 6.
Vamos usar o ponto D como referência e os vetores AD, BD, CD :
AD = (0,1,0), BD = (0,0,1), CD = (1,0,0)
O produto misto é:
V = 16 | AD cdot (BD times CD) |
Já calculamos BD times CD = (0,1,0) e AD cdot (0,1,0) = 1 , então:
V = 16 |1| = 16

Resposta

(a) Os pontos A, B, C e D formam um tetraedro.
(b) A área da face ABC é raiz32 .
(c) A altura relativa à face ABC é raiz33 .
(d) O volume do tetraedro é 16 .

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