Calcule os determinantes das seguintes matrizes. Recomenda-se fazer operações elementares para reduzir as contas.
[ccc 3 & -6 & 9 -2 & 7 & -2 0 & 1 & 5 ],[ccc 3 & 1 & -2 0 & 4 & 4 2 & -3 & 6 ], [cccc 1 & 0 & 3 & 2 3 & 4 & -1 & 2 0 & 3 & 1 & 2 1 & 5 & 2 & 3 ],[ccccc 1 & 3 & 1 & 5 & 3 -2 & -7 & 0 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os determinantes de quatro matrizes de ordens 3, 3, 4 e 5. O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente determinantes, usando propriedades de operações elementares (adições de linha e estrutura de bloco triangular) para simplificar o cálculo sem expandir completamente pelo método de Laplace.

Passo 2

Para a primeira matriz
A= 3 & -6 & 9 -2 & 7 & -2 0 & 1 & 5
usamos expansão em cofatores na primeira linha. Temos
det(A) =3cdotdet!7 & -21 & 5 -(-6)cdotdet!-2 & -20 & 5 +9cdotdet!-2 & 70 & 1
Calculando cada menor:
det!7 & -21 & 5=7cdot5-(-2)cdot1=35+2=37,
det!-2 & -20 & 5=-2cdot5-(-2)cdot0=-10,
det!-2 & 70 & 1=-2cdot1-7cdot0=-2
Logo
det(A)=3cdot37+6cdot(-10)+9cdot(-2)=111-60-18=33

Passo 3

Para a segunda matriz
B= 3 & 1 & -2 0 & 4 & 4 2 & -3 & 6
também fazemos expansão na primeira linha:
det(B) =3cdotdet!4 & 4-3 & 6 -1cdotdet!0 & 42 & 6 +(-2)cdotdet!0 & 42 & -3
Os menores são
4cdot6-4cdot(-3)=36, 0cdot6-4cdot2=-8, 0cdot(-3)-4cdot2=-8
Então
det(B)=3cdot36 -1cdot(-8)+(-2)cdot(-8)=108+8+16=132

Passo 4

Para a terceira matriz
C= 1 & 0 & 3 & 2 3 & 4 & -1 & 2 0 & 3 & 1 & 2 1 & 5 & 2 & 3
aplicamos operações de linha para triangularizar sem alterar o determinante (somar múltiplos de uma linha a outra).
1) R2 R2-3R1,;R4 R4-R1.
2) Eliminamos na coluna 2 usando R2 como pivô.
3) Eliminamos na coluna 3 usando o novo R3 como pivô.
O resultado é uma matriz triangular com diagonais
1,;4,;tfrac172,;-tfrac1317,
e portanto
det(C) =1cdot4cdottfrac172cdotl(-tfrac1317r) =4cdotl(-tfrac132r)=-26

Passo 5

A quarta matriz
D= 1 & 3 & 1 & 5 & 3 -2 & -7 & 0 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1
é em bloco triangular superior, pois nas linhas 3 5 e colunas 1 2 temos zeros. Logo
det(D)=det1&3-2&-7cdot det 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & 1 & 1
Calculamos
det1&3-2&-7 =1cdot(-7)-3cdot(-2)=-7+6=-1,
det 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & 1 & 1 =1cdot(1cdot1-1cdot1)-0+;1cdot(2cdot1-1cdot0)=0+2=2
Portanto
det(D)=(-1)cdot2=-2

Resposta

  • Para 3 & -6 & 9 -2 & 7 & -2 0 & 1 & 5, o determinante é 33.
  • Para 3 & 1 & -2 0 & 4 & 4 2 & -3 & 6, o determinante é 132.
  • Para 1 & 0 & 3 & 2 3 & 4 & -1 & 2 0 & 3 & 1 & 2 1 & 5 & 2 & 3, o determinante é -26.
  • Para 1 & 3 & 1 & 5 & 3 -2 & -7 & 0 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 , o determinante é -2.

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