Seja T: R^3 R^3 um operador linear. Considere as bases B=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) e C=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) de R^3 e suponha que [T]B C=[ccc1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 -1 & 0 & 1]. Então, para todo (x, y, z) in R^3, tem-se
(A) T(x, y, z)=(x-z, x-y,-y+z)
(B) T(x, y, z)=(x-y, 0, x+y)
(C) T(x, y, z)=(x-z, x-y-z, 0)
(D) T(x, y, z)=(0, x+y, x-z)
(E) T(x, y, z)=(x+2 z, y+2 z, 3 x-z)

Passo 1

O enunciado dá um operador linear TcolonR^3toR^3 cuja matriz em relação à base de partida B=b1,b2,b3 e à base de chegada C=c1,c2,c3 é
[M]BC = 1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 -1 & 0 & 1
Queremos a fórmula de T(x,y,z) no sistema de coordenadas canônico. Para isso usamos a relação
A ;=; PC,[T]BC;PB^-1,
onde A é a matriz de T na base canônica, PB leva coordenadas em B para a base canônica, e PC faz o mesmo para C.

Passo 2

As colunas de PB são os vetores de B no canônico:
PB =l[b1;b2;b3r] = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 ,
e as colunas de PC são os vetores de C:
PC =l[c1;c2;c3r] = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1

Passo 3

Como PB é triangular superior com 1 na diagonal, seu inverso é
PB^-1 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 ,
pois verifica PB,PB^-1=I.

Passo 4

Calculamos primeiro
M,PB^-1 = 1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 -1 & 1 & 1

Passo 5

Agora
A ;=; PC,(M,PB^-1) = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 -1 & 1 & 1 = 1 & 0 & -1 1 & -1 & -1 0 & 0 & 0

Passo 6

Da matriz A na base canônica, temos para (x,y,z)
T(x,y,z) =l(x - z,;x - y - z,;0r)
Comparando com as opções, isso corresponde à letra (C).

Resposta

(C) T(x,y,z)=(x-z,;x-y-z,;0)

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