Considere as transformações lineares T: R^n+1 Pn(R) e S: Pn(R) R^n+1 definidas por
T(a0, a1, ldots, an)=a0+a1 x+cdots+an x^n e S(p)=(p(0), p(1), ldots, p(n))
Determine as matrizes de S circ T e de T circ S com respeito às bases canônicas.

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares
T:R^n+1toPn(R) por
T(a0,a1,dots,an)=a0+a1x+cdots+anx^n
e
S:Pn(R)toR^n+1 por
Sl(pr) = l(p(0),p(1),dots,p(n)r)
Queremos as matrizes de Scirc T e de Tcirc S nas bases canônicas de R^n+1 e de Pn(R).

Passo 2

Para Scirc T:R^n+1toR^n+1, tome o vetor canônico ej de R^n+1 (com 1 na posição j e zeros nas outras). Então
T(ej)=x^j-1, Sl(x^j-1r) = l(0^j-1,1^j-1,dots,n^j-1r)^T
Logo a coluna j da matriz de Scirc T é l(0^j-1,1^j-1,dots,n^j-1r)^T, e a matriz é
M ;=;(mi,j)0<= i,j<= n, mi,j = i^j ;l(i,j variando de 0 a nr),
ou explicitamente
M = 0^0 & 0^1 & cdots & 0^n [6pt] 1^0 & 1^1 & cdots & 1^n [3pt] vdots & vdots & & vdots [3pt] n^0 & n^1 & cdots & n^n ]

Passo 3

Para Tcirc S:Pn(R)toPn(R), tome o polinômio base x^k ( k=0,dots,n). Então
Sl(x^kr) = l(0^k,1^k,dots,n^kr), Tl(0^k,1^k,dots,n^kr) = sumj=0^n j^k,x^j
Portanto, na base 1,x,dots,x^n, a coluna k+1 é l(0^k,1^k,dots,n^kr)^T, e a matriz é
N ;=;(ni,j)0<= i,j<= n, ni,j = j^i ;l(i,j variando de 0 a nr),
isto é
N = 0^0 & 1^0 & cdots & n^0 [6pt] 0^1 & 1^1 & cdots & n^1 [3pt] vdots & vdots & & vdots [3pt] 0^n & 1^n & cdots & n^n ]

Resposta

A matriz de Scirc T nas bases canônicas é
0^0 & 0^1 & cdots & 0^n [6pt] 1^0 & 1^1 & cdots & 1^n [3pt] vdots & vdots & & vdots [3pt] n^0 & n^1 & cdots & n^n ,
e a matriz de Tcirc S nas bases canônicas é
0^0 & 1^0 & cdots & n^0 [6pt] 0^1 & 1^1 & cdots & n^1 [3pt] vdots & vdots & & vdots [3pt] 0^n & 1^n & cdots & n^n ]

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