Encontre
sabendo que
é uma matriz
e
. E se
for
?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas:
- Foi dada uma matriz
de dimensão . - Sabe-se que
. - Pergunta-se: qual é
nesse caso? - Pergunta adicional: e se
for , qual seria dado que ?
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade fundamental do determinante (a explicarei com calma): se
é uma matriz quadrada de ordem
e
é um escalar, então
Explicação didática do porquê disso ser verdade (sem pular etapas):
- O determinante é linear em cada linha (ou coluna) separadamente. Isso significa que, se multiplicarmos apenas uma linha da matriz por
, o determinante é multiplicado por . - Se multiplicarmos todas as
linhas por (o que é o mesmo que multiplicar a matriz inteira por ), cada linha contribui com um fator ao determinante. Então, o fator total que multiplica o determinante é . - Portanto, multiplicar a matriz
por resulta em .
Um exemplo simples para fixar a ideia: para uma matriz
,
, tem-se
. Então
o que confirma a fórmula com
.]
Passo 3
Aplicando a propriedade ao caso
:
- Aqui
e . A relação é
- Pelo enunciado
. Substituindo,
- Isolando
,
Observação prática:
e
não é múltiplo de
, então a fração
está na forma irredutível.
Passo 4
Agora o caso
:
- Se
for , então e a propriedade dá
- Como
, temos
- Isolando
,
Novamente
e
não compartilha fator
, então
é irredutível.
Passo 5
Pequena recapitulação intuitiva (pra você lembrar na prova):
- Multiplicar a matriz por
é como multiplicar cada linha por . - Cada linha multiplicada por
multiplica o determinante por . - Com
linhas, o efeito total é multiplicar por . - Logo, para recuperar
a partir de , divide-se por .