Encontre \operatorname{det}(A) sabendo que A é uma matriz 3 \times 3 e \operatorname{det}(7 A)=6. E se A for 4 \times 4 ?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas:
  • Foi dada uma matriz A de dimensão 3\times3.
  • Sabe-se que \det(7A)=6.
  • Pergunta-se: qual é \det(A) nesse caso?
  • Pergunta adicional: e se A for 4\times4, qual seria \det(A) dado que \det(7A)=6?

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental do determinante (a explicarei com calma): se A é uma matriz quadrada de ordem n e c é um escalar, então
\det(cA)=c^{n}\det(A).
Explicação didática do porquê disso ser verdade (sem pular etapas):
  • O determinante é linear em cada linha (ou coluna) separadamente. Isso significa que, se multiplicarmos apenas uma linha da matriz por c, o determinante é multiplicado por c.
  • Se multiplicarmos todas as n linhas por c (o que é o mesmo que multiplicar a matriz inteira por c), cada linha contribui com um fator c ao determinante. Então, o fator total que multiplica o determinante é c\cdot c\cdots c = c^{n}.
  • Portanto, multiplicar a matriz A por c resulta em \det(cA)=c^{n}\det(A).
Um exemplo simples para fixar a ideia: para uma matriz 2\times2, A=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}, tem-se \det(A)=ad-bc. Então
\det(2A)=\det\begin{pmatrix}2a&2b\\[4pt]2c&2d\end{pmatrix}=(2a)(2d)-(2b)(2c)=4(ad-bc)=2^{2}\det(A),
o que confirma a fórmula com n=2.]

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso 3\times3:
  • Aqui n=3 e c=7. A relação é
\det(7A)=7^{3}\det(A).
  • Pelo enunciado \det(7A)=6. Substituindo,
6 = 7^{3}\det(A).
  • Isolando \det(A),
\det(A)=\dfrac{6}{7^{3}}=\dfrac{6}{343}.
Observação prática: 343=7^{3} e 6 não é múltiplo de 7, então a fração \dfrac{6}{343} está na forma irredutível.

Passo 4

Agora o caso 4\times4:
  • Se A for 4\times4, então n=4 e a propriedade dá
\det(7A)=7^{4}\det(A).
  • Como \det(7A)=6, temos
6 = 7^{4}\det(A).
  • Isolando \det(A),
\det(A)=\dfrac{6}{7^{4}}=\dfrac{6}{2401}.
Novamente \,2401=7^{4} e 6 não compartilha fator 7, então \dfrac{6}{2401} é irredutível.

Passo 5

Pequena recapitulação intuitiva (pra você lembrar na prova):
  • Multiplicar a matriz por 7 é como multiplicar cada linha por 7.
  • Cada linha multiplicada por 7 multiplica o determinante por 7.
  • Com n linhas, o efeito total é multiplicar por 7^{n}.
  • Logo, para recuperar \det(A) a partir de \det(7A), divide-se por 7^{n}.

Resposta

\dfrac{6}{343}
\dfrac{6}{2401}

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