Calcule os determinantes usando expansão de co-fatores pela primeira linha e pela primeira coluna:
[ccc0 & 1 & -1 2 & 3 & -2 -1 & 3 & 0]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(A) para
A = 0 & 1 & -1 2 & 3 & -2 -1 & 3 & 0
usando expansão de co-fatores pela primeira linha e também pela primeira coluna. O conteúdo aqui é a definição de determinante por expansão de Laplace, que exige calcular menores (submatrizes 2times 2) e aplicar os sinais (-1)^i+j.

Passo 2

Expansão pela primeira linha.
Usamos
det(A)=sumj=1^3a1j,C1j,
onde C1j=(-1)^1+jdet(M1j). Os menores são
M11=3 & -23 & 0, M12=2 & -2-1 & 0, M13=2 & 3-1 & 3
Calculando os determinantes 2times 2:
det(M11)=3cdot0-(-2)cdot3=6, det(M12)=2cdot0-(-2)cdot(-1)=-2, det(M13)=2cdot3-3cdot(-1)=9
Logo os cofatores são
C11=(-1)^2cdot6=6,; C12=(-1)^3cdot(-2)=2,; C13=(-1)^4cdot9=9
Portanto
det(A) =0cdot6 +1cdot2 +(-1)cdot9 =2-9=-7

Passo 3

Expansão pela primeira coluna.
Agora
det(A)=sumi=1^3ai1,Ci1,
com Ci1=(-1)^i+1det(Mi1). Já tínhamos M11, faltam
M21=1 & -13 & 0, M31=1 & -13 & -2
Seus determinantes:
det(M21)=1cdot0-(-1)cdot3=3, det(M31)=1cdot(-2)-(-1)cdot3=1
Cofatores:
C21=(-1)^3cdot3=-3, C31=(-1)^4cdot1=1
Contribuições:
det(A)=0cdot6 +2cdot(-3)+(-1)cdot1 =-6-1=-7

Passo 4

Ambas as expansões, pela primeira linha e pela primeira coluna, levam ao mesmo valor do determinante.

Resposta

-7

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