Quais dos conjuntos V com as operações indicadas de adição e multipicação por escalar é um espaço vetorial sobre R ? Caso V não seja um espaço vetorial sobre R, mostre as propriedades que não funciona em determinado caso particular!
Seja V=R^3=(x, y, z): x, y, z in R com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas por:
(a1, a2, a3)+(b1, b2, b3) & =(a1+b1+5, a2+b2-7, a3+b3+1) lambda cdot(a1, a2, a3) & =(lambda a1+5(lambda-1), lambda a2-7(lambda-1), lambda a3+(lambda-1))
para toda (x, y, z) in V=R^3 e todo lambda in R.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto V=R^3 com operações não usuais de soma e multiplicação por escalar. Precisamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial sobre R (fechamento, associatividade e comutatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso aditivo, compatibilidade e distributividades da multiplicação escalar, escalar neutro) são satisfeitas por essas operações.

Passo 2

Verificamos primeiro a estrutura de soma:
1. Fechamento é óbvio pois soma de reais dá real e somamos constantes em cada componente.
2. Comutatividade e associatividade seguem porque a adição em R é comutativa e associativa e as constantes somadas apenas se acumulam de forma independente da ordem.
3. Identidade aditiva e=(e1,e2,e3) satisfaz
(a1,a2,a3)+e=(a1+e1+5,;a2+e2-7,;a3+e3+1)=(a1,a2,a3)forall(a1,a2,a3),
logo
e1=-5, e2=7, e3=-1,
isto é, e=(-5,7,-1).
4. Para cada a=(a1,a2,a3) o inverso aditivo b=(b1,b2,b3) satisfaz
(a1,a2,a3)+b=e,
resolvendo-se a1+b1+5=-5, a2+b2-7=7, a3+b3+1=-1 obtemos
b=(-a1-10,;-a2+14,;-a3-2)
Logo inversos existem.

Passo 3

Agora a multiplicação por escalar:
1. Para o escalar neutro 1 verificamos
1cdot(a1,a2,a3)=(1cdot a1+5(1-1),;1cdot a2-7(1-1),;1cdot a3+(1-1)) =(a1,a2,a3)
2. Para qualquer lambda,muinR e vin V com v=(v1,v2,v3) calculamos
( lambda+mu)cdot v =( (lambda+mu)v1+5((lambda+mu)-1),;dots)
e
lambdacdot v+mucdot v =(lambda v1+5(lambda-1),dots)+(mu v1+5(mu-1),dots)
pela defini\c{c}~ao de soma verifica\u2011se que ambos coincidem componente a componente, logo
(lambda+mu)cdot v=lambdacdot v+mucdot v

Passo 4

Verificamos tamb’em as outras duas propriedades de compatibilidade:
1. Distributividade de escalar sobre soma de vetores: para u,vin V
lambdacdot(u+v)=lambdacdot u+lambdacdot v,
fazendo conta componente a componente v’e\u2011se que as constantes somam corretamente.
2. Compatibilidade de escalares:
lambdacdot(mu v)=(lambdamu)cdot v,
novamente conferido por c’alculo direto em cada componente.

Resposta

O conjunto V=R^3, com as operações dadas, satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial sobre R. Portanto, é um espaço vetorial.

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