Quais dos conjuntos
com as operações indicadas de adição e multipicação por escalar é um espaço vetorial sobre
? Caso
não seja um espaço vetorial sobre
, mostre as propriedades que não funciona em determinado caso particular!
Seja
com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas por:
para toda
e todo
.
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com operações não usuais de soma e multiplicação por escalar. Precisamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial sobre
(fechamento, associatividade e comutatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso aditivo, compatibilidade e distributividades da multiplicação escalar, escalar neutro) são satisfeitas por essas operações.
Passo 2
Verificamos primeiro a estrutura de soma:
. Fechamento é óbvio pois soma de reais dá real e somamos constantes em cada componente.
. Comutatividade e associatividade seguem porque a adição em
é comutativa e associativa e as constantes somadas apenas se acumulam de forma independente da ordem.
. Identidade aditiva
satisfaz
logo
isto é,
.
. Para cada
o inverso aditivo
satisfaz
resolvendo-se
,
,
obtemos
Logo inversos existem.
Passo 3
Agora a multiplicação por escalar:
. Para o escalar neutro
verificamos
e
pela defini\c{c}~ao de soma verifica\u2011se que ambos coincidem componente a componente, logo
Passo 4
Verificamos tamb’em as outras duas propriedades de compatibilidade:
. Distributividade de escalar sobre soma de vetores: para
fazendo conta componente a componente v’e\u2011se que as constantes somam corretamente.
. Compatibilidade de escalares:
novamente conferido por c’alculo direto em cada componente.
Resposta
O conjunto
, com as operações dadas, satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial sobre
. Portanto, é um espaço vetorial.