Calcule os determinantes usando expansão de co-fatores pela primeira linha e pela primeira coluna:
[lll1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1
usando expansão de co-fatores (Laplace) pela primeira linha e, em seguida, pela primeira coluna. Para isso, vamos usar que o co-fator Cij é dado por
Cij = (-1)^i+j det(Mij),
onde Mij é a submatriz obtida de M ao remover a linha i e a coluna j, e que
det(M) = sumj=1^3 a1jC1j (pela linha 1), det(M) = sumi=1^3 ai1Ci1 (pela coluna 1)

Passo 2

Expansão pela primeira linha:
det(M) = a11C11 + a12C12 + a13C13 = 1cdot C11 + 1cdot C12 + 0cdot C13
Calculemos os menores e co-fatores:
M11 = 0 & 11 & 1 = 0cdot1 - 1cdot1 = -1, C11 = (-1)^1+1(-1) = -1,
M12 = 1 & 10 & 1 = 1cdot1 - 1cdot0 = 1, C12 = (-1)^1+2(1) = -1,
M13 = 1 & 00 & 1 = 1cdot1 - 0cdot0 = 1, C13 = (-1)^1+3(1) = +1
Logo,
det(M) = 1cdot(-1) + 1cdot(-1) + 0cdot1 = -1 -1 = -2

Passo 3

Expansão pela primeira coluna:
det(M) = a11C11 + a21C21 + a31C31 = 1cdot C11 + 1cdot C21 + 0cdot C31
Já temos C11=-1. Agora:
M21 = 1 & 01 & 1 = 1cdot1 - 0cdot1 = 1, C21 = (-1)^2+1(1) = -1,
M31 = 1 & 10 & 1 = 1cdot1 - 1cdot0 = 1, C31 = (-1)^3+1(1) = +1
Portanto,
det(M) = 1cdot(-1) + 1cdot(-1) + 0cdot1 = -1 -1 = -2

Resposta

-2

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