Calcule os determinantes usando expansão de co-fatores pela primeira linha e pela primeira coluna:
[lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9
usando expansão de co-fatores pela primeira linha e pela primeira coluna. Vamos usar a definição de co-fator
Cij = (-1)^i+j,Mij,
onde Mij é o menor obtido apagando a linha i e a coluna j.

Passo 2

Expansão pela primeira linha:
A fórmula geral é
det A = a11C11 + a12C12 + a13C13
  1. Menor M11:
M11 = det5 & 6 8 & 9 =5cdot9 -6cdot8 = -3,
C11 = (-1)^1+1(-3) = -3
  1. Menor M12:
M12 = det4 & 6 7 & 9 =4cdot9 -6cdot7 = -6,
C12 = (-1)^1+2(-6) = 6
  1. Menor M13:
M13 = det4 & 5 7 & 8 =4cdot8 -5cdot7 = -3,
C13 = (-1)^1+3(-3) = -3
Substituindo em det A:
det A = 1cdot(-3) + 2cdot6 + 3cdot(-3) = -3 +12 -9 = 0

Passo 3

Expansão pela primeira coluna:
A fórmula é
det A = a11C11 + a21C21 + a31C31
Já temos C11=-3.
  1. Menor M21:
M21 = det2 & 3 8 & 9 =2cdot9 -3cdot8 = -6,
C21 = (-1)^2+1(-6) = 6
  1. Menor M31:
M31 = det2 & 3 5 & 6 =2cdot6 -3cdot5 = -3,
C31 = (-1)^3+1(-3) = -3
Substituindo em det A:
det A = 1cdot(-3) + 4cdot6 + 7cdot(-3) = -3 +24 -21 = 0

Resposta

O determinante da matriz é 0 tanto pela expansão na primeira linha quanto pela expansão na primeira coluna.

Exercícios relacionados