Calcule os determinantes usando expansão de co-fatores pela primeira linha e pela primeira coluna:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 3 & 1 & 2
usando expansão de co-fatores (ou Laplace) pela primeira linha e pela primeira coluna. Vamos precisar lembrar que, para uma matriz 3times3, a expansão pela linha i é
det(A)=sumj=1^3(-1)^i+jaijdet(Mij),
onde Mij é a submatriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j. De modo análogo para a expansão pela coluna j.
Passo 2
Expansão pela primeira linha (i=1):
det(A) =sumj=1^3(-1)^1+ja1jdet(M1j)
Calculamos cada termo:
j=1: M11=3&11&2, det(M11)=3cdot2-1cdot1=5, então (-1)^1+1a11det(M11) =(+1)cdot1cdot5=5
j=2: M12=2&13&2, det(M12)=2cdot2-1cdot3=1, então (-1)^1+2a12det(M12) =(-1)cdot2cdot1=-2
j=3: M13=2&33&1, det(M13)=2cdot1-3cdot3=-7, então (-1)^1+3a13det(M13) =(+1)cdot3cdot(-7)=-21
Somando os três termos fica
det(A)=5+(-2)+(-21)=-18
Passo 3
Expansão pela primeira coluna (j=1):
det(A) =sumi=1^3(-1)^i+1ai1det(Mi1)
Calculamos cada termo:
i=1: já vimos que det(M11)=5, logo (-1)^1+1a11det(M11) =(+1)cdot1cdot5=5
i=2: M21=2&31&2, det(M21)=2cdot2-3cdot1=1, então (-1)^2+1a21det(M21) =(-1)cdot2cdot1=-2
i=3: M31=2&33&1, det(M31)=2cdot1-3cdot3=-7, então (-1)^3+1a31det(M31) =(+1)cdot3cdot(-7)=-21
E novamente
det(A)=5+(-2)+(-21)=-18
Resposta
O determinante da matriz é -18 em ambas as expansões.