Seja
o espaço vetorial com as operações usuais e
,
,
subespaços de
Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
;
Mostre que
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com as operações usuais e pede para mostrar que os conjuntos
são subespaços de
.
Para isso usamos o teste de subespaço vetorial: cada conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.
Para isso usamos o teste de subespaço vetorial: cada conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação para
:
- Vetor zero:
satisfaz , logo . - Fechamento em adição: se
e estão em , então
logo
.
3. Fechamento em escalar: dado e
,
3. Fechamento em escalar: dado
então
. Assim
é subespaço.
Passo 3
Verificação para
:
- Vetor zero:
satisfaz , logo está em . - Fechamento em adição: se
e têm e , então
logo
também satisfaz a condição
.
3. Fechamento em escalar: para ,
3. Fechamento em escalar: para
se
. Logo
. Assim
é subespaço.
Passo 4
Verificação para
:
- Vetor zero: tomando
obtemos . - Fechamento em adição: se
e estão em , então
é também da forma
.
3. Fechamento em escalar: para ,
3. Fechamento em escalar: para
também está em
. Portanto
é subespaço.
Resposta
Sim,
,
e
são subespaços vetoriais de
.