Seja V=R^3 o espaço vetorial com as operações usuais e U=(a, b, c) in R^3: a+b-2 c=0 , T=(a, b, c) in R^3: a=c, W=(0,0, c) in R^3: c in R subespaços de V=R^3:
Mostre que U, T e W são subespaços vetoriais de V=R^3;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^3 com as operações usuais e pede para mostrar que os conjuntos
U=(a,b,c)inR^3 : a+b-2c=0, T=(a,b,c)inR^3 : a=c, W=(0,0,c)inR^3 : cinR
são subespaços de V.
Para isso usamos o teste de subespaço vetorial: cada conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação para U:
  1. Vetor zero: (0,0,0) satisfaz 0+0-2cdot0=0, logo (0,0,0)inU.
  2. Fechamento em adição: se (a1,b1,c1) e (a2,b2,c2) estão em U, então
(a1+a2)+(b1+b2)-2(c1+c2) =(a1+b1-2c1)+(a2+b2-2c2) =0+0 =0,
logo (a1+a2,b1+b2,c1+c2)inU.
3. Fechamento em escalar: dado kinR e (a,b,c)inU,
k a + k b -2(k c) = k,(a+b-2c) = kcdot0 =0,
então (k a, k b, k c)inU. Assim U é subespaço.

Passo 3

Verificação para T:
  1. Vetor zero: (0,0,0) satisfaz 0=0, logo está em T.
  2. Fechamento em adição: se (a1,b1,c1) e (a2,b2,c2) têm a1=c1 e a2=c2, então
(a1+a2) = (c1+c2),
logo (a1+a2,b1+b2,c1+c2) também satisfaz a condição a=c.
3. Fechamento em escalar: para kinR,
k a = k c
se a=c. Logo (k a, k b, k c)inT. Assim T é subespaço.

Passo 4

Verificação para W:
  1. Vetor zero: tomando c=0 obtemos (0,0,0)inW.
  2. Fechamento em adição: se (0,0,c1) e (0,0,c2) estão em W, então
(0,0,c1)+(0,0,c2) = (0,0,c1+c2)
é também da forma (0,0,c).
3. Fechamento em escalar: para kinR,
k,(0,0,c1) = (0,0,k c1)
também está em W. Portanto W é subespaço.

Resposta

Sim, U, T e W são subespaços vetoriais de R^3.

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