Calcule os determinantes usando expansão de co-fatores por qualquer linha ou coluna que pareça conviniente:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3 usando a expansão de cofatores. O determinante é uma forma de resumir as propriedades da matriz e é útil em várias áreas da matemática, como resolver sistemas lineares e encontrar inversas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como expandir por uma linha ou coluna que facilite nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz:
1 & 1 & -1 2 & 0 & 1 3 & -2 & 1
A ideia é escolher a linha ou coluna que tenha números mais simples para facilitar a conta. Olhando essa matriz, a segunda coluna tem zeros e números menores, então vamos expandir por ela.
Passo 3
A expansão de cofatores pela segunda coluna funciona assim:
det = a12C12 + a22C22 + a32C32
Onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Vamos identificar os elementos da segunda coluna:
a12 = 1
a22 = 0
a32 = -2
Agora, precisamos calcular os cofatores C12 e C32. Note que a22 é zero, então aquele termo vai zerar na conta.
Passo 5
Calcular o cofator C12:
Para C12, removemos a primeira linha e a segunda coluna:
2 & 1 3 & 1
O cofator é dado por (-1)^1+2 vezes o determinante dessa menor matriz:
C12 = (-1)^3 times (2 times 1 - 3 times 1) = -1 times (2 - 3) = -1 times (-1) = 1
Passo 6
Calcular o cofator C32:
Para C32, removemos a terceira linha e a segunda coluna:
1 & -1 2 & 1
O cofator é dado por (-1)^3+2 vezes o determinante dessa menor matriz:
C32 = (-1)^5 times (1 times 1 - 2 times (-1)) = -1 times (1 + 2) = -1 times 3 = -3
Passo 7
Agora, substituímos tudo na fórmula do determinante:
det = (1) times 1 + (0) times cofator + (-2) times (-3) = 1 + 0 + 6 = 7