Seja V=R^3 o espaço vetorial com as operações usuais e U=(a, b, c) in R^3: a+b-2 c=0 , T=(a, b, c) in R^3: a=c, W=(0,0, c) in R^3: c in R subespaços de V=R^3:
Calcule U+T, U+W e T+W

Passo 1

O enunciado nos dá três subespaços de R^3:
U=(a,b,c)mid a+b-2c=0,
T=(a,b,c)mid a=c e
W=(0,0,c).
Queremos calcular as somas de subespaços U+ T, U+ W e T+ W.
Para isso usaremos dois fatos:
  1. A fórmula de dimensão
dim(X+Y)=dim X+dim Y-dim(Xcap Y),
  1. Se dim(X+Y)=3 em R^3, então X+Y=R^3.

Passo 2

Calcular
Substituindo .
Logo , uma reta de dimensão 1.
Pela fórmula,
portanto .

Passo 3

Calcular U+ W.
Temos dim W=1.
A interseção Ucap W satisfaz
(a,b,c)in WRightarrow a=b=0,
e para estar em U precisa 0+0-2c=0Rightarrow c=0.
Logo Ucap W=(0,0,0) tem dimensão 0.
Pela fórmula,
dim( U+ W)=2+1-0=3,
logo U+ W=R^3.

Passo 4

Calcular T+ W.
Já sabemos dim T=2 e dim W=1.
A interseção Tcap W exige (0,0,c) com a=c, ou seja c=0.
Logo Tcap W=0 tem dimensão 0.
Pela fórmula,
dim( T+ W)=2+1-0=3,
portanto T+ W=R^3.

Resposta

U+ T=R^3
U+ W=R^3
T+ W=R^3

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