Calcule os determinantes usando expansão de co-fatores por qualquer linha ou coluna que pareça conviniente:
[llla & b & 0 0 & a & b a & 0 & b]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M = a & b & 0 0 & a & b a & 0 & b
usando expansão de co-fatores por uma linha ou coluna. O conteúdo aqui é determinante de matriz 3times3 e vamos usar a definição de co-fator, escolhendo uma linha com elemento zero para simplificar.

Passo 2

Escolhemos expandir pela primeira linha. A fórmula de expansão é
det(M) ;=; sumj=1^3 m1j,(-1)^1+j,det(M1j),
onde m1j é o elemento na linha 1 e coluna j, e M1j é a submatriz obtida ao remover a linha 1 e a coluna j.

Passo 3

Calculamos os termos não nulos.
Para m11=a, o menor é
det a & b 0 & b = a,b,
com sinal (-1)^1+1=+1, logo o termo contribui com
a ;cdot; ab ;=; a^2b
Para m12=b, o menor é
det 0 & b a & b = 0cdot b - acdot b = -ab,
com sinal (-1)^1+2=-1. O co-fator fica -1cdot(-ab)=ab e o termo contribui com
b ;cdot; ab ;=; ab^2

Passo 4

Somando as contribuições:
det(M) = a^2b + ab^2 = ab,(a+b)

Resposta

det(M)=ab,(a+b)

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