Calcule os determinantes usando expansão de co-fatores por qualquer linha ou coluna que pareça conviniente:
[cccc2 & 0 & 3 & -1 1 & 0 & 2 & 2 0 & -1 & 1 & 4 2 & 0 & 1 & -3]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = 2 & 0 & 3 & -1 1 & 0 & 2 & 2 0 & -1 & 1 & 4 2 & 0 & 1 & -3
Usaremos a expansão por co-fatores (ou Laplace) ao longo da segunda coluna, pois há três zeros nessa coluna, o que simplifica os cálculos.

Passo 2

Pela expansão ao longo da coluna 2,
det(A) = sumi=1^4 (-1)^,i+2,ai2,det(Mi2),
onde Mi2 é o menor obtido ao eliminar a linha i e a coluna 2 de A. Como a12=0, a22=0 e a42=0, só o termo i=3 contribui, com a32=-1. Logo,
det(A) = (-1)^3+2,(-1),det(M3,2) = (-1)^5(-1),det(M3,2) = det(M3,2)

Passo 3

O menor M3,2 é a matriz 3times3 formada pelas linhas 1, 2 e 4 e colunas 1, 3 e 4 de A:
M3,2 = 2 & 3 & -1 1 & 2 & 2 2 & 1 & -3
Portanto det(A)=det(M3,2).

Passo 4

Vamos calcular det(M3,2) pela regra de Sarrus ou pela expansão:
det(M3,2) = 2l(2cdot(-3)-2cdot1r) -3l(1cdot(-3)-2cdot2r) +(-1)l(1cdot1-2cdot2r)
Agora simplificamos cada termo:
2,( -6 -2 ) ;=;-16, -3,( -3 -4 ) ;=;21, -1,(1-4);=;3
Somando:
det(M3,2) = -16 + 21 + 3 = 8

Resposta

O determinante da matriz dada é 8.

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