Seja V=Mn times n(R) o conjunto das matrizes n times n com entradas reais, com as operações usuais de matrizes, sabemos que (V=Mn times n(R),+, cdot) é um espaço vetorial sobre R.Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de V=Mn times n(R) :
U=A in Mn times n(R): A^t=A

Passo 1

O enunciado diz que V=Mntimes n(R) é espaço vetorial sobre R e define o subconjunto
U=AinMntimes n(R):A^t=A,
ou seja, as matrizes simétricas. Para mostrar que U é subespaço vetorial de V, vamos usar as três condições do critério de subespaço:
  1. 0inU.
  2. Fechamento em soma: se A,BinU então A+BinU.
  3. Fechamento em produto por escalar: se AinU e lambdainR, então lambda AinU.

Passo 2

Verificamos se a matriz nula 0 (todas entradas zero) pertence a U. Como
0^t = 0,
segue que 0inU.

Passo 3

Sejam A,BinU. Então A^t=A e B^t=B. Portanto
(A+B)^t = A^t + B^t = A + B,
logo A+B também é simétrica, ou seja, A+BinU.

Passo 4

Seja lambdainR e AinU. Como A^t=A, temos
(lambda A)^t = lambda,A^t = lambda,A,
portanto lambda A é simétrica e lambda AinU.

Resposta

U é subespaço vetorial de V=Mntimes n(R).

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