Seja
o conjunto das matrizes
com entradas reais, com as operações usuais de matrizes, sabemos que
é um espaço vetorial sobre
.Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de
:
Passo 1
O enunciado diz que
é espaço vetorial sobre
e define o subconjunto
ou seja, as matrizes simétricas. Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, vamos usar as três condições do critério de subespaço:
-
. - Fechamento em soma: se
então . - Fechamento em produto por escalar: se
e , então .
Passo 2
Verificamos se a matriz nula
(todas entradas zero) pertence a
. Como
segue que
.
Passo 3
Sejam
. Então
e
. Portanto
logo
também é simétrica, ou seja,
.
Passo 4
Seja
e
. Como
, temos
portanto
é simétrica e
.