Seja V=R^3 o espaço vetorial com as operações usuais e U=(a, b, c) in R^3: a+b-2 c=0 , T=(a, b, c) in R^3: a=c, W=(0,0, c) in R^3: c in R subespaços de V=R^3:
V=R^3 é soma direta de quais somas do item2.b?

Passo 1

O enunciado dá o espaço V=R^3 e três subespaços
U=(a,b,c)inR^3 : a+b-2c=0,
T=(a,b,c)inR^3 : a=c e
W=(0,0,c)inR^3 : cinR.
Pede-se verificar, entre as somas U+T, U+W e T+W, quais geram V como soma direta.

Passo 2

Analisamos U+T.
Dimensões: dimU=2 (uma equação linear), dimT=2.
Interseção UcapT=(a,b,c):a+b-2c=0,;a=c.
Substituindo a=c em a+b-2c=0 c+b-2c=0Rightarrow b=c.
Logo UcapT=(c,c,c):cinR tem dimensão 1.
Assim
dim(U+T) =dimU+dimT-dim(UcapT) =2+2-1=3,
logo U+T=R^3, mas como a interseção não é 0, não é soma direta.

Passo 3

Analisamos U+W.
Dimensões: dimU=2, dimW=1.
Interseção UcapW=(0,0,c):0+0-2c=0 força c=0,
então UcapW=0.
Logo
dim(U+W)=2+1-0=3,
portanto U+W=R^3 e a interseção trivial implica soma direta:
V=UoplusW.

Passo 4

Analisamos T+W.
Dimensões: dimT=2, dimW=1.
Interseção TcapW=(0,0,c):a=c,;a=0,;b=0 força c=0,
logo TcapW=0.
Assim
dim(T+W)=2+1-0=3,
portanto T+W=R^3 e a interseção trivial implica soma direta:
V=ToplusW.

Resposta

V=UoplusW
V=ToplusW

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