Seja
, determine quais dos conjuntos
descritos a seguir são subespaços de
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso, precisamos mostrar três propriedades:
-
não é vazio (contém o vetor zero); -
é fechado sob adição; -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
pertence a
. De fato, substituindo em
temos
logo
. Assim,
.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
e
.
Pela definição de temos
e
. Então
Pela definição de
Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja
e
. Então
Logo
.
Resposta
O conjunto
satisfaz as três propriedades de subespaço, portanto é subespaço de
.