Seja V=\mathbb{R}^{4}, determine quais dos conjuntos S \subset V descritos a seguir são subespaços de V
(a) S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{2}+2 x_{3}=0\right\}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = \mathbb{R}^{4} e o subconjunto
S = \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mid x_{2} + 2x_{3} = 0\}.
Queremos verificar se S é subespaço de V. Para isso, precisamos mostrar três propriedades:
  1. S não é vazio (contém o vetor zero);
  2. S é fechado sob adição;
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0,0) pertence a S. De fato, substituindo em x_{2}+2x_{3}=0 temos
0 + 2\cdot 0 = 0,
logo (0,0,0,0)\in S. Assim, S\neq\varnothing.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4})\in S e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})\in S.
Pela definição de S temos u_{2}+2u_{3}=0 e v_{2}+2v_{3}=0. Então
(\mathbf{u}+\mathbf{v})_{2} + 2(\mathbf{u}+\mathbf{v})_{3} = (u_{2}+v_{2}) + 2(u_{3}+v_{3}) = (u_{2}+2u_{3}) + (v_{2}+2v_{3}) = 0 + 0 = 0.
Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4})\in S e \lambda\in\mathbb{R}. Então
(\lambda\mathbf{u})_{2} + 2(\lambda\mathbf{u})_{3} = \lambda u_{2} + 2\lambda u_{3} = \lambda(u_{2} + 2u_{3}) = \lambda\cdot 0 = 0.
Logo \lambda\mathbf{u}\in S.

Resposta

O conjunto S satisfaz as três propriedades de subespaço, portanto é subespaço de \mathbb{R}^{4}.

Exercícios relacionados