Calcule o diâmetro de um tubo vertical necessário para escoar 3,6 m^3 / h água por gravidade a partir do terraço de um edifício, sabendo que a diferença de altura é de 60 metros. O tubo é de metal e possui rugosidade relativa igual a 3 times 10^-3

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício pede e de que matéria estamos falando.
– Enunciado resumido: temos um tubo vertical de 60 m de altura que vai drenar 3,6 m³/h de água só pela gravidade. O tubo é de metal com rugosidade relativa ε/D = 3×10⁻³. Precisamos achar o diâmetro interno D que garante esse escoamento.
– Conteúdo: é um problema de mecânica dos fluidos em escoamento interno (tubo) com perda de carga por atrito.
– O que vamos usar:
  1. Equação de continuidade hf = f,LD,V^22g.
  2. Equação de Bernoulli/Energia com perda de carga de Darcy–Weisbach
  3. Relação de Colebrook (ou a forma explícita de Swamee–Jain) para encontrar o fator de atrito em função de Reynolds e rugosidade relativa.
  4. Método iterativo: chutamos um , calculamos , ajustamos até convergir.

Passo 2

Converter unidades e definir variáveis:
– Vazão h = hf = f,LD,V^22g
– Altura disponível V = QA = 4Qpi D^2.
– Comprimento do tubo
– A equação de energia entre topo e saída (sem velocidades iniciais) dá:
– Da continuidade, a velocidade média no tubo é

Passo 3

Expressar 60 = f,60D,l(tfrac4Qpi D^2r)^22g em função de D^5 = 8,f,Q^2g,pi^2Longrightarrow D = l(8,f,Q^2g,pi^2r)^1/5:
  1. Substituindo em :
  2. Simplificando, obtemos
Então depende de , e depende de e do Reynolds.

Passo 4

Equação de Swamee–Jain (forma explícita para tubos circulares rugosos):
f = 0.25l[log10l(varepsilon/D3.7 + 5.74Re^0.9r)r]^-2,
onde
e
Método:
  1. Chuto um valor inicial para (por exemplo 0,02).
  2. Calculo pela fórmula do Passo 3.
  3. Com esse , calculo , depois e, por fim, pela Swamee–Jain.
  4. Repito até e pararem de mudar significativamente.

Passo 5

Iterando rapidinho (mostrando só um resumo):
  1. f₀ = 0,02 ⇒ D₁ ≃ 0,0214 m ⇒ Re₁ ≃ 5,9×10⁴ ⇒ f₁ ≃ 0,124
  2. f₁ = 0,124 ⇒ D₂ ≃ 0,0333 m ⇒ Re₂ ≃ 3,8×10⁴ ⇒ f₂ ≃ 0,097
  3. f₂ = 0,097 ⇒ D₃ ≃ 0,0238 m ⇒ Re₃ ≃ 5,3×10⁴ ⇒ f₃ ≃ 0,117
  4. f₃ = 0,117 ⇒ D₄ ≃ 0,0249 m ⇒ Re₄ ≃ 5,1×10⁴ ⇒ f₄ ≃ 0,114
  5. f₄ = 0,114 ⇒ D₅ ≃ 0,0244 m ⇒ mudanças pequenas ⇒ paramos.

Resposta

O diâmetro interno necessário é aproximadamente
boxedD approx 0,024 m(24 mm)

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