Calcule o diâmetro de um tubo vertical necessário para escoar
água por gravidade a partir do terraço de um edifício, sabendo que a diferença de altura é de 60 metros. O tubo é de metal e possui rugosidade relativa igual a
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício pede e de que matéria estamos falando.
– Enunciado resumido: temos um tubo vertical de 60 m de altura que vai drenar 3,6 m³/h de água só pela gravidade. O tubo é de metal com rugosidade relativa ε/D = 3×10⁻³. Precisamos achar o diâmetro interno D que garante esse escoamento.
– Conteúdo: é um problema de mecânica dos fluidos em escoamento interno (tubo) com perda de carga por atrito.
– O que vamos usar:
– Enunciado resumido: temos um tubo vertical de 60 m de altura que vai drenar 3,6 m³/h de água só pela gravidade. O tubo é de metal com rugosidade relativa ε/D = 3×10⁻³. Precisamos achar o diâmetro interno D que garante esse escoamento.
– Conteúdo: é um problema de mecânica dos fluidos em escoamento interno (tubo) com perda de carga por atrito.
– O que vamos usar:
- Equação de continuidade
. - Equação de Bernoulli/Energia com perda de carga de Darcy–Weisbach
- Relação de Colebrook (ou a forma explícita de Swamee–Jain) para encontrar o fator de atrito
em função de Reynolds e rugosidade relativa. - Método iterativo: chutamos um
, calculamos , ajustamos até convergir.
Passo 2
Converter unidades e definir variáveis:
– Vazão
– Altura disponível .
– Comprimento do tubo
– A equação de energia entre topo e saída (sem velocidades iniciais) dá:
– Vazão
– Altura disponível
– Comprimento do tubo
– A equação de energia entre topo e saída (sem velocidades iniciais) dá:
– Da continuidade, a velocidade média no tubo é
Passo 3
Expressar
em função de
:
- Substituindo
em : - Simplificando, obtemos
Então
depende de
, e
depende de
e do Reynolds.
Passo 4
Equação de Swamee–Jain (forma explícita para tubos circulares rugosos):
onde
e
Método:
Método:
- Chuto um valor inicial para
(por exemplo 0,02). - Calculo
pela fórmula do Passo 3. - Com esse
, calculo , depois e, por fim, pela Swamee–Jain. - Repito até
e pararem de mudar significativamente.
Passo 5
Iterando rapidinho (mostrando só um resumo):
- f₀ = 0,02 ⇒ D₁ ≃ 0,0214 m ⇒ Re₁ ≃ 5,9×10⁴ ⇒ f₁ ≃ 0,124
- f₁ = 0,124 ⇒ D₂ ≃ 0,0333 m ⇒ Re₂ ≃ 3,8×10⁴ ⇒ f₂ ≃ 0,097
- f₂ = 0,097 ⇒ D₃ ≃ 0,0238 m ⇒ Re₃ ≃ 5,3×10⁴ ⇒ f₃ ≃ 0,117
- f₃ = 0,117 ⇒ D₄ ≃ 0,0249 m ⇒ Re₄ ≃ 5,1×10⁴ ⇒ f₄ ≃ 0,114
- f₄ = 0,114 ⇒ D₅ ≃ 0,0244 m ⇒ mudanças pequenas ⇒ paramos.
Resposta
O diâmetro interno necessário é aproximadamente