Sendo o vetor densidade fluxo de campo elétrico dado por
, determine a densidade de cargas volumétrica que origina o campo.
Passo 1
O enunciado dá o vetor densidade fluxo de campo elétrico
e pede a densidade de cargas volumétrica que origina esse campo. Informações relevantes que temos:
-
é puramente radial (apenas componente na direção ) e depende só da distância radial . - A variável
é a distância do ponto até a origem (ou seja, estamos em coordenadas esféricas com simetria radial). - Precisamos encontrar a densidade volumétrica de carga
correspondente.
Passo 2
Conceito usado (explicado didaticamente): para campos elétricos com simetria radial, a densidade volumétrica de carga livre relacionada a
pode ser obtida pelo divergente de
:
Vou explicar por que, de forma intuitiva e útil na prova: pegue uma esfera de raio
. O fluxo de
através da superfície esférica é
porque
é radial e constante sobre a esfera de raio
. A densidade volumétrica de carga local pode ser obtida observando como esse fluxo varia com
: a taxa de variação do fluxo com o raio, dividida pelo volume da casca, leva ao divergente. Isso se resume na fórmula prática (muito usada em provas):
Essa fórmula é essencialmente a aplicação do Teorema da Divergência (ou Gauss) para simetria esférica, e é fácil de usar em cálculos sem recorrer às expressões completas do divergente em coordenadas esféricas.
Passo 3
Aplicando a fórmula acima ao nosso campo: identifique a componente radial
Calcule
:
Passo 4
Agora derivamos em relação a
:
use a regra do quociente para
use a regra do quociente para
Seja
e
. Então
e
. A derivada é
Simplificando o numerador:
Logo
Passo 5
Finalmente, aplicamos a fórmula do divergente radial
Substituindo o resultado do passo anterior:
Observação rápida e útil para a prova: em
essa expressão é bem definida e vale
.