Sendo o vetor densidade fluxo de campo elétrico dado por \vec{D}=\frac{3 r}{r^{2}+1} \hat{r}, determine a densidade de cargas volumétrica que origina o campo.

Passo 1

O enunciado dá o vetor densidade fluxo de campo elétrico
\vec{D}=\frac{3\,r}{r^{2}+1}\,\hat{r}
e pede a densidade de cargas volumétrica que origina esse campo. Informações relevantes que temos:
  • \vec{D} é puramente radial (apenas componente na direção \hat{r}) e depende só da distância radial \,r.
  • A variável r é a distância do ponto até a origem (ou seja, estamos em coordenadas esféricas com simetria radial).
  • Precisamos encontrar a densidade volumétrica de carga \rho_v(r) correspondente.

Passo 2

Conceito usado (explicado didaticamente): para campos elétricos com simetria radial, a densidade volumétrica de carga livre relacionada a \vec{D} pode ser obtida pelo divergente de \vec{D}:
\rho_v=\nabla\cdot\vec{D}.
Vou explicar por que, de forma intuitiva e útil na prova: pegue uma esfera de raio r. O fluxo de \vec{D} através da superfície esférica é
\Phi(r)=\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}=D_r(r)\cdot 4\pi r^{2},
porque \vec{D} é radial e constante sobre a esfera de raio r. A densidade volumétrica de carga local pode ser obtida observando como esse fluxo varia com r: a taxa de variação do fluxo com o raio, dividida pelo volume da casca, leva ao divergente. Isso se resume na fórmula prática (muito usada em provas):
\text{se }\vec{D}=D_r(r)\,\hat{r}\quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot\vec{D}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}D_{r}(r)\big).
Essa fórmula é essencialmente a aplicação do Teorema da Divergência (ou Gauss) para simetria esférica, e é fácil de usar em cálculos sem recorrer às expressões completas do divergente em coordenadas esféricas.

Passo 3

Aplicando a fórmula acima ao nosso campo: identifique a componente radial
D_{r}(r)=\frac{3\,r}{r^{2}+1}.
Calcule r^{2}D_{r}(r):
r^{2}D_{r}(r)=r^{2}\cdot\frac{3\,r}{r^{2}+1}=\frac{3\,r^{3}}{r^{2}+1}.

Passo 4

Agora derivamos em relação a r:
use a regra do quociente para
\frac{d}{dr}\left(\frac{3r^{3}}{r^{2}+1}\right).
Seja u(r)=3r^{3} e v(r)=r^{2}+1. Então u'(r)=9r^{2} e v'(r)=2r. A derivada é
\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{9r^{2}(r^{2}+1)-3r^{3}\cdot 2r}{(r^{2}+1)^{2}}.
Simplificando o numerador:
9r^{2}(r^{2}+1)-6r^{4}=9r^{4}+9r^{2}-6r^{4}=3r^{4}+9r^{2}=3r^{2}(r^{2}+3).
Logo
\frac{d}{dr}\big(r^{2}D_{r}(r)\big)=\frac{3r^{2}(r^{2}+3)}{(r^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula do divergente radial
\rho_v(r)=\nabla\cdot\vec{D}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}D_{r}(r)\big).
Substituindo o resultado do passo anterior:
\rho_v(r)=\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{3r^{2}(r^{2}+3)}{(r^{2}+1)^{2}}=3\,\frac{r^{2}+3}{(r^{2}+1)^{2}}.
Observação rápida e útil para a prova: em r=0 essa expressão é bem definida e vale \rho_v(0)=3\frac{0+3}{(0+1)^{2}}=9.

Resposta

\rho_v(r)=3\,\dfrac{r^{2}+3}{(r^{2}+1)^{2}}

Exercícios relacionados