Calcule d xd y por diferenciação implícita:
c) 2 x^3+x^2 y+y^3=1

Passo 1

O enunciado define a curva implícita
2x^3 + x^2y + y^3 = 1
e pede dfracdxdy. Para isso vamos aplicar diferenciação implícita, usando regra da cadeia (para as potências de x e y) e regra do produto (no termo x^2y), lembrando que x é função de y, ou seja, ddyx = dxdy.

Passo 2

Diferenciando cada termo em relação a y:
ddy(2x^3) = 2cdot 3x^2dxdy = 6x^2dxdy,
ddy(x^2y) = ddy(x^2)cdot y + x^2cdotddy(y) = 2xdxdy,y + x^2cdot 1 = 2xydxdy + x^2,
ddy(y^3) = 3y^2,
e do lado direito ddy(1)=0. Logo,
6x^2dxdy + l(2xydxdy + x^2r) + 3y^2 = 0

Passo 3

Agrupando os termos que contêm dxdy e transportando os demais para o outro lado:
l(6x^2 + 2xyr)dxdy + x^2 + 3y^2 = 0 Longrightarrow l(6x^2 + 2xyr)dxdy = -,(x^2 + 3y^2)

Passo 4

Isolando dxdy:
dxdy = -,x^2 + 3y^26x^2 + 2xy = -,x^2 + 3y^22x,(3x + y)

Resposta

dxdy = -,x^2 + 3y^22x,(3x + y)

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