Calcule a integral integral duplaR e^(x+y) /(x-y) d A, onde R é a região trapezoidal com vértices em (1,0), (2,0),(0,-2) e (0,-1).

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaR e^x+y,x-y,,dA
onde R é o trapézio de vértices (1,0), (2,0), (0,-2) e (0,-1).
Para simplificar o integrando, vamos usar a mudança de variáveis
u = x+y, v = x-y,
pois aí o expoente fica u/v.

Passo 2

Invertendo a transformação temos
x = u+v2, y = u-v2
O Jacobiano é
J = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = det tfrac12 & tfrac12[3pt] tfrac12 & -tfrac12 = -tfrac12,
logo l|Jr|=tfrac12 e dA = tfrac12,du,dv.]

Passo 3

Vamos ver para quais (u,v) a região R vai:
  • (1,0)mapsto(u,v)=(1,1)
  • (2,0)mapsto(u,v)=(2,2)
  • (0,-2)mapsto(u,v)=(-2,2)
  • (0,-1)mapsto(u,v)=(-1,1)
    Isso forma um paralelogramo em que v varia de 1 a 2 e, para cada v, u varia de -v a v.

Passo 4

Em coordenadas (u,v) a integral vira
integral duplaR e^x+yx-y,dA =integralv=1^2integralu=-v^v e^uv;l(tfrac12,du,dvr) =tfrac12integral1^2!integral-v^v e^uv,du,dv

Passo 5

Primeiro fazemos a integral em u:
integral-v^v e^uv,du = l[v,e^uvr]u=-v^u=v =vl(e^1-e^-1r)
Logo
tfrac12integral1^2vl(e-e^-1r),dv =tfrace-e^-12integral1^2v,dv =tfrace-e^-12,l[tfracv^22r]1^2 =tfrace-e^-12,cdottfrac4-12 =tfrac3,(e-e^-1)4

Resposta

3,(e - e^-1)4

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