Tem-se um modelo ao qual aproxima a produção de matéria seca de feijão (
) como função da adição de nutrientes
(fósforo em ppm), pode ser dado por
, cujo domínio é dado por
. Calcule
,
e
, justifique e compare os resultados. Estime
e f(187). O que se pode dizer sobre qualquer quantidade acima de
?
R) pode-se dizer que acima de
, a produção de matéria seca de feijão irá diminuir.
R) pode-se dizer que acima de
Passo 1
A questão dá um modelo polinomial f(x)=6.7287+0.061792x+0.0000678x²−0.00000083x³ para a produção de matéria seca de feijão em função de x (ppm de fósforo), com 0≤x≤210. Vamos usar derivada para saber a taxa de variação em pontos específicos e valor direto da função para estimativas.
Passo 2
Para achar f′(x) aplicamos a derivada termo a termo: a derivada de a·x é a, de b·x² é 2b·x, de c·x³ é 3c·x². Assim
Passo 3
Substituímos agora em x=27.21, 187.1 e 190:
Passo 4
Para estimar f nos pontos indicados fazemos substituição direta na função original:
Passo 5
Como f′ passa de positiva (0.0636 em 27.21) a quase zero (em 187.1) e fica negativa em 190, x≈187.1 é ponto de máximo; para x>187.1 a produção diminui.
Resposta
f′(27.21)≈0.0636, f′(187.1)≈1.2×10^{−5}, f′(190)≈−0.00233; f(28)≈8.494, f(26.58)≈8.403, f(187.5)≈15.226, f(187)≈15.224. Para x>187.1 ppm a produção de matéria seca de feijão diminui.