Tem-se um modelo ao qual aproxima a produção de matéria seca de feijão ( g / vaso ) como função da adição de nutrientes x (fósforo em ppm), pode ser dado por f(x)=6.7287+0.061792 x+0.0000678 x^2-0.00000083 x^3, cujo domínio é dado por D=x in R / 0 <= x <= 210 ppm. Calcule f^prime(27.21), f^prime(187.1) e f^prime(190), justifique e compare os resultados. Estime f(28), f(26.58), f(187.5) e f(187). O que se pode dizer sobre qualquer quantidade acima de x=187.1 ppm ?
R) pode-se dizer que acima de x=187.1 ppm, a produção de matéria seca de feijão irá diminuir.

Passo 1

A questão dá um modelo polinomial f(x)=6.7287+0.061792x+0.0000678x²−0.00000083x³ para a produção de matéria seca de feijão em função de x (ppm de fósforo), com 0≤x≤210. Vamos usar derivada para saber a taxa de variação em pontos específicos e valor direto da função para estimativas.

Passo 2

Para achar f′(x) aplicamos a derivada termo a termo: a derivada de a·x é a, de b·x² é 2b·x, de c·x³ é 3c·x². Assim
f'(x)=0.061792+2cdot0.0000678,x−3cdot0.00000083,x^2=0.061792+0.0001356,x−0.00000249,x^2

Passo 3

Substituímos agora em x=27.21, 187.1 e 190:
f'(27.21)≈0.061792+0.0001356times27.21−0.00000249times27.21^2≈0.06364,
f'(187.1)≈0.061792+0.0001356times187.1−0.00000249times187.1^2≈1.2times10^-5,
f'(190)≈0.061792+0.0001356times190−0.00000249times190^2≈−0.00233

Passo 4

Para estimar f nos pontos indicados fazemos substituição direta na função original:
f(28)≈6.7287+0.061792times28+0.0000678times28^2−0.00000083times28^3≈8.494,
f(26.58)≈8.403, f(187.5)≈15.226, f(187)≈15.224

Passo 5

Como f′ passa de positiva (0.0636 em 27.21) a quase zero (em 187.1) e fica negativa em 190, x≈187.1 é ponto de máximo; para x>187.1 a produção diminui.

Resposta

f′(27.21)≈0.0636, f′(187.1)≈1.2×10^{−5}, f′(190)≈−0.00233; f(28)≈8.494, f(26.58)≈8.403, f(187.5)≈15.226, f(187)≈15.224. Para x>187.1 ppm a produção de matéria seca de feijão diminui.

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