Calcule d xd y por diferenciação implícita:
d) x^4+4 x^2 y^2-3 x y^2+2 x=0

Passo 1

O enunciado pede calcular dxdy por diferenciação implícita da curva definida por
x^4 + 4x^2y^2 - 3xy^2 + 2x = 0
O conteúdo necessário é a regra da cadeia e a regra do produto ao derivar termos que envolvem x e y.

Passo 2

Derivo cada termo em relação a y, lembrando que x é função de y. Temos:
ddy(x^4) = 4x^3,dxdy
ddy(4x^2y^2) = 8x,y^2,dxdy ;+; 8x^2y
ddy(-3x y^2) = -3y^2,dxdy ;-; 6x y
ddy(2x) = 2,dxdy
O lado direito da equação original é constante, portanto sua derivada é zero.

Passo 3

Somando todas as derivadas e igualando a zero, obtemos:
4x^3dxdy ;+; 8x,y^2dxdy ;+; 8x^2y ;-; 3y^2dxdy ;-; 6xy ;+; 2dxdy ;=; 0
Agora agrupamos os termos que contêm dxdy e os termos livres:

Passo 4

Os coeficientes de dxdy e os termos sem derivada ficam:
l(4x^3 + 8x,y^2 - 3y^2 + 2r)dxdy ;+; l(8x^2y - 6xyr) ;=; 0

Resposta

dxdy = -8x^2y - 6xy4x^3 + 8x,y^2 - 3y^2 + 2

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