Determine onde a função dada é crescente/ decrescente, onde tem concavidade para cima e para baixo. Calcule os extremos relativos, e construa o gráfico das funções:
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=2+(x−1)³ e pede para estudar crescimento, concavidade, extremos relativos e esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas (primeira para monotonicidade, segunda para concavidade) e identificar pontos críticos.
Passo 2
Calcular a derivada primeira: temos f(x)=2+(x−1)³. Então
Passo 3
Como (x−1)²≥0 para todo x e é zero só em x=1, concluímos que f’(x)≥0 em ℝ, com f’(x)>0 para x≠1. Logo, f é crescente em todo o domínio ℝ e não há intervalo de decrescimento.
Passo 4
Calcular a derivada segunda para concavidade:
Passo 5
Assim f’’(x)<0 quando x<1 (concavidade para baixo) e f’’(x)>0 quando x>1 (concavidade para cima). Em x=1 há ponto de inflexão.
Passo 6
Analisar extremos relativos: o único ponto crítico vem de f’(x)=0 em x=1. Como f’ não muda de sinal (fica ≥0), não há máximo nem mínimo relativo, e sim um ponto de inflexão em x=1 com f(1)=2.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, lembre que é uma cúbica deslocada de maneira que cruza (1,2), é sempre crescente, passa de concavidade para baixo para concavidade para cima em x=1, e tem o formato típico de uma função cúbica sem extremos relativos.
Resposta
Crescente em ℝ; não é decrescente em nenhum intervalo; concavidade para baixo em (−∞,1) e para cima em (1,∞); não há extremos relativos (ponto de inflexão em (1,2)). O gráfico é uma cúbica crescente com inflexão em (1,2).