Seja z=x^{2} y, calcule:
(a) Calcule a diferencial
(b) Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para a variação \Delta z em z, quando se passa de x=1, y=2 para x=1,02 e y=2,01
(c) Calcule o erro cometido na aproximação anterior.
Passo 1
O enunciado dá a função \,z = x^{2}y\, e pede três coisas:
(a) calcular a diferencial de z;
(b) usar essa diferencial para obter um valor aproximado para a variação \Delta z quando se passa de (x,y)=(1,2) para (x,y)=(1{,}02,\,2{,}01);
(c) calcular o erro cometido por essa aproximação.
Informações explícitas dadas:
(x_0,y_0) = (1,2),
(x_1,y_1) = (1{,}02,\,2{,}01),
logo as pequenas variações são
\Delta x = x_1-x_0 = 0{,}02,\qquad \Delta y = y_1-y_0 = 0{,}01.
Passo 2
O que é a diferencial e como vamos calculá-la (explicação didática)?
A diferencial de uma função de duas variáveis z=z(x,y) é uma forma linear que aproxima a variação de z para pequenos incrementos \Delta x e \Delta y. Denotamos essa aproximação por dz e ela tem a forma