Seja z=x^{2} y, calcule:
(a) Calcule a diferencial
(b) Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para a variação \Delta z em z, quando se passa de x=1, y=2 para x=1,02 e y=2,01
(c) Calcule o erro cometido na aproximação anterior.

Passo 1

O enunciado dá a função \,z = x^{2}y\, e pede três coisas:
(a) calcular a diferencial de z;
(b) usar essa diferencial para obter um valor aproximado para a variação \Delta z quando se passa de (x,y)=(1,2) para (x,y)=(1{,}02,\,2{,}01);
(c) calcular o erro cometido por essa aproximação.
Informações explícitas dadas:
(x_0,y_0) = (1,2),
(x_1,y_1) = (1{,}02,\,2{,}01),
logo as pequenas variações são
\Delta x = x_1-x_0 = 0{,}02,\qquad \Delta y = y_1-y_0 = 0{,}01.

Passo 2

O que é a diferencial e como vamos calculá-la (explicação didática)?
A diferencial de uma função de duas variáveis z=z(x,y) é uma forma linear que aproxima a variação de z para pequenos incrementos \Delta x e \Delta y. Denotamos essa aproximação por dz e ela tem a forma
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.
Aqui:
  • \frac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x (tratando y como constante);
  • \frac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y (tratando x como constante);
  • dx e dy representam incrementos pequenos em x e y (na prática usamos dx\approx\Delta x e dy\approx\Delta y quando os incrementos são pequenos).
Esse dz é a aproximação linear de \Delta z = z(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-z(x_0,y_0).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de \,z=x^{2}y\,.
Derivando em relação a x (mantendo y constante):
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x y.
Derivando em relação a y (mantendo x constante):
\frac{\partial z}{\partial y} = x^{2}.
Substituindo nas fórmulas da diferencial obtemos a diferencial geral:
dz = 2xy\,dx + x^{2}\,dy.
Isto responde a parte (a).

Passo 4

Usar a diferencial para aproximar \Delta z (parte (b)).
No ponto (x_0,y_0)=(1,2) temos, usando \,dx\approx\Delta x=0{,}02 e dy\approx\Delta y=0{,}01:
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)} = 2\cdot 1\cdot 2 = 4, \qquad \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,2)} = 1^{2} = 1.
Logo a diferencial no ponto vale
dz = 4\,dx + 1\,dy.
Substituindo dx=0{,}02 e dy=0{,}01:
dz \approx 4\cdot 0{,}02 + 1\cdot 0{,}01 = 0{,}08 + 0{,}01 = 0{,}09.
Portanto a aproximação linear para \Delta z é \Delta z \approx 0{,}09.

Passo 5

Calcular a variação real \Delta z exatamente e obter o erro (parte (c)).
Calculamos z no ponto final exatamente:
z(x,y)=x^{2}y.
No ponto inicial:
z(1,2) = 1^{2}\cdot 2 = 2.
No ponto final:
z(1{,}02,\,2{,}01) = (1{,}02)^{2}\cdot 2{,}01.
Calculemos (1{,}02)^{2}: (1{,}02)^{2} = 1{,}02\cdot 1{,}02 = 1{,}0404.
Agora multiplica por 2{,}01:
1{,}0404\cdot 2{,}01 = 1{,}0404\cdot 2 + 1{,}0404\cdot 0{,}01 = 2{,}0808 + 0{,}010404 = 2{,}091204.
Então a variação real é
\Delta z_{\text{real}} = z(1{,}02,2{,}01)-z(1,2) = 2{,}091204 - 2 = 0{,}091204.
O erro absoluto da aproximação linear é
\text{erro} = \Delta z_{\text{real}} - dz \approx 0{,}091204 - 0{,}09 = 0{,}001204.
Para entender de onde vem esse erro, podemos expandir exatamente \Delta z em potências de \Delta x e \Delta y:
\begin{aligned} z(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) &= (x_0+\Delta x)^{2}(y_0+\Delta y)\\\ &= x_0^{2}y_0 + x_0^{2}\Delta y + 2x_0 y_0\Delta x + 2x_0\Delta x\Delta y + y_0(\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{2}\Delta y. \end{aligned}
Subtraindo x_0^{2}y_0 vemos que a parte linear é x_0^{2}\Delta y + 2x_0 y_0\Delta x (que é dz) e o resto
2x_0\Delta x\Delta y + y_0(\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{2}\Delta y
é exatamente o erro. Com x_0=1,y_0=2,\Delta x=0{,}02,\Delta y=0{,}01 esse resto vale
2\cdot1\cdot0{,}02\cdot0{,}01 + 2\cdot(0{,}02)^{2} + (0{,}02)^{2}\cdot0{,}01 = 0{,}0004 + 0{,}0008 + 0{,}000004 = 0{,}001204,
confirmando o erro calculado acima. É pequeno porque envolve produtos e quadrados das pequenas variações.

Resposta

(a) dz = 2xy\,dx + x^{2}\,dy
(b) \Delta z \approx 0{,}09
(c) \text{erro} = 0{,}001204

Exercícios relacionados