Calcule o diferencial total d z para cada função:
(a) z=e^{x^{2} y}

Passo 1

O enunciado pede o diferencial total de z definida por
z = e^{x^{2}y}.
O conceito aqui é o de diferencial total, que usa derivadas parciais para escrever
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.
Vamos calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} usando regra da cadeia.

Passo 2

Começando pelas derivadas parciais: \bullet Para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, tratamos y como constante e derivamos e^{x^{2}y} em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^{2}y}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr) = e^{x^{2}y}\cdot (2x\,y) = 2xy\,e^{x^{2}y}. \bullet Para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, tratamos x como constante e derivamos e^{x^{2}y} em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x^{2}y}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr) = e^{x^{2}y}\cdot (x^{2}) = x^{2}e^{x^{2}y}.
Substituindo na fórmula do diferencial total:

Passo 3

dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy = 2xy\,e^{x^{2}y}\,dx + x^{2}e^{x^{2}y}\,dy.

Resposta

dz = 2xy\,e^{x^{2}y}\,dx + x^{2}e^{x^{2}y}\,dy.

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