Diferenciais Exatos e Inexatos. Em Fundamentos da Termodinâmica, a distinção entre diferenciais exatos e inexatos é fundamental para o estudo de propriedades e processos.
(a) Defina a diferença entre um diferencial exato e um diferencial inexato.
(b) Dê dois exemplos de grandezas termodinâmicas, uma com diferencial exato e outra com diferencial inexato. Justifique sua escolha para cada caso.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) definir a diferença entre diferencial exato e diferencial inexato, em termos de funções de estado e de caminho;
(b) dar um exemplo de cada tipo de diferencial em termodinâmica e justificar por que um é exato e o outro é inexato.

Passo 2

Um diferencial é dito exato quando ele corresponde ao incremento de uma função de estado f. Em termos matemáticos, num espaço de variáveis (x,y) um 1-forma
\omega = M\,dx + N\,dy
é exata se existe f(x,y) tal que \omega = df. Um teste prático em duas variáveis é
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.
Física: diferenciais exatos são path-independent, só dependem dos pontos inicial e final.
Já um diferencial é inexato quando não há função de estado f com \omega = df. Em termodinâmica, usamos o símbolo \delta para lembrar que \delta Q ou \delta W dependem do caminho seguido no espaço de estados e não podem ser integrados como função única de estado.

Passo 3

Exemplo de diferencial exato: o incremento de energia interna dU. Aqui U é uma função de estado que depende, por exemplo, de P e V. Logo
dU = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V dP + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P dV
é exato, pois a troca das derivadas parciais satisfaz o teste de exatidão e o valor de \Delta U independe do processo (só importa os estados inicial e final).

Passo 4

Exemplo de diferencial inexato: o calor trocado \delta Q. Não existe função de estado Q(P,V) tal que \delta Q = dQ. O valor total de calor trocado entre dois estados varia conforme o caminho termodinâmico seguido (por exemplo, expansão isotérmica versus adiabática reversível). Por isso usamos \delta Q e não dQ, indicando que é path-dependent.

Resposta

(a) Um diferencial exato é aquele que se escreve como df para alguma função de estado f, sendo path-independent e satisfazendo \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Um diferencial inexato não corresponde ao incremento de nenhuma função de estado única, depende do caminho e é indicado por \delta.
(b) Exato: dU (energia interna), pois U é função de estado e \Delta U independe do processo.
Inexato: \delta Q (calor), pois não há função Q de estado; o calor trocado depende do caminho seguido entre os estados.

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