Diferenciais Exatos e Inexatos. Em Fundamentos da Termodinâmica, a distinção entre diferenciais exatos e inexatos é fundamental para o estudo de propriedades e processos.
(a) Defina a diferença entre um diferencial exato e um diferencial inexato.
(b) Dê dois exemplos de grandezas termodinâmicas, uma com diferencial exato e outra com diferencial inexato. Justifique sua escolha para cada caso.
(a) Defina a diferença entre um diferencial exato e um diferencial inexato.
(b) Dê dois exemplos de grandezas termodinâmicas, uma com diferencial exato e outra com diferencial inexato. Justifique sua escolha para cada caso.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) definir a diferença entre diferencial exato e diferencial inexato, em termos de funções de estado e de caminho;
(b) dar um exemplo de cada tipo de diferencial em termodinâmica e justificar por que um é exato e o outro é inexato.
(a) definir a diferença entre diferencial exato e diferencial inexato, em termos de funções de estado e de caminho;
(b) dar um exemplo de cada tipo de diferencial em termodinâmica e justificar por que um é exato e o outro é inexato.
Passo 2
Um diferencial é dito exato quando ele corresponde ao incremento de uma função de estado
. Em termos matemáticos, num espaço de variáveis
um 1-forma
é exata se existe
tal que
. Um teste prático em duas variáveis é
Física: diferenciais exatos são path-independent, só dependem dos pontos inicial e final.
Já um diferencial é inexato quando não há função de estado com
. Em termodinâmica, usamos o símbolo
para lembrar que
ou
dependem do caminho seguido no espaço de estados e não podem ser integrados como função única de estado.
Já um diferencial é inexato quando não há função de estado
Passo 3
Exemplo de diferencial exato: o incremento de energia interna
Aqui
é uma função de estado que depende, por exemplo, de
e
. Logo
é exato, pois a troca das derivadas parciais satisfaz o teste de exatidão e o valor de
independe do processo (só importa os estados inicial e final).
Passo 4
Exemplo de diferencial inexato: o calor trocado
Não existe função de estado
tal que
. O valor total de calor trocado entre dois estados varia conforme o caminho termodinâmico seguido (por exemplo, expansão isotérmica versus adiabática reversível). Por isso usamos
e não
, indicando que é path-dependent.
Resposta
(a) Um diferencial exato é aquele que se escreve como
para alguma função de estado
, sendo path-independent e satisfazendo
. Um diferencial inexato não corresponde ao incremento de nenhuma função de estado única, depende do caminho e é indicado por
.
(b) Exato: (energia interna), pois
é função de estado e
independe do processo.
Inexato: (calor), pois não há função
de estado; o calor trocado depende do caminho seguido entre os estados.
(b) Exato:
Inexato: