Calcule a dimensão do núcleo da transformação linear T: R^4 R^4 definida por
T(a, b, c, d)=(-3 a-6 b-9 c-30 d, 3 a+6 b+7 c+22 d,-c-4 d,-4 a-8 b-14 c-47 d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a dimensão do núcleo da transformação linear T: R^4 R^4 definida por:
T(a, b, c, d)=(-3 a-6 b-9 c-30 d, 3 a+6 b+7 c+22 d, -c-4 d, -4 a-8 b-14 c-47 d)
Isso significa que vamos descobrir quantas soluções existem para T(a, b, c, d) = 0 . Para isso, vamos precisar usar álgebra linear, especialmente resolver um sistema linear de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que representam T(a, b, c, d) = 0 . Isso dá:
-3a - 6b - 9c - 30d = 0 3a + 6b + 7c + 22d = 0 -c - 4d = 0 -4a - 8b - 14c - 47d = 0

Passo 3

Agora, vamos organizar essas equações em um sistema linear e escrever a matriz aumentada correspondente:
-3 & -6 & -9 & -30 & | & 0 3 & 6 & 7 & 22 & | & 0 0 & 0 & -1 & -4 & | & 0 -4 & -8 & -14 & -47 & | & 0

Passo 4

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Primeiro, podemos simplificar a segunda linha somando a primeira linha:
  1. Multiplique a primeira linha por -1 e some com a segunda linha:
(3a + 6b + 7c + 22d) + ( -1 times (-3a -6b -9c -30d) ) = 0 + 0
Isso simplifica a segunda equação.
Após realizar algumas operações de linha (como multiplicar e somar linhas) para simplificar a matriz, chegamos a:
1 & 2 & 3 & 10 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 5

Agora, interpretamos essa matriz reduzida. As equações resultantes são:
a + 2b + 3c + 10d = 0 c + 2d = 0 0 = 0 0 = 0
Observamos que c e d são variáveis livres. Podemos expressar c = -2d a partir da segunda equação.
Substituindo c = -2d na primeira equação:
a + 2b + 3(-2d) + 10d = 0 a + 2b -6d +10d = 0 a + 2b +4d = 0 Rightarrow a = -2b -4d

Resposta

As soluções são dadas por:
a = -2b -4d b = b c = -2d d = d
Os parâmetros livres são b e d , então o núcleo de T tem dimensão 2.

Exercícios relacionados